Ba bạn An, Bắc, Cường dựng cố định một cây sào thẳng đứng rồi đánh dấu chiều cao của các bạn lên đó bởi ba điểm. Điểm A ứng với chiều cao của bạn An, B ứng với chiều cao của Bắc và C ứng với chiều cao của Cường. Biết rằng bạn An cao 150 cm, bạn Bắc cao 153 cm, bạn Cường cao 148 cm. Sắp xếp các điểm A, B, C trên cây sào theo thứ tự từ thấp đến cao.

+ Ta đã biết tập các số tự nhiên được kí hiệu là N, nghĩa là N = {0; 1; 2; 3;...}. Mỗi phần tử 0; 1; 2; 3; … được biểu diễn bởi một điểm trên tia số gốc 0 như hình vẽ:

+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, luôn có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số a nhỏ hơn số b thì trên tia số nằm ngang điểm a nằm bên trái điểm b. Khi đó, ta viết a < b hoặc b > a. Ta còn nói: điểm a nằm trước điểm b, hoặc điểm b nằm sau điểm a.

+ Mỗi số tự nhiên có đúng một số liền sau, chẳng hạn 9 là số liền sau của 8 (còn 8 là số liền trước của 9). Hai số 8 và 9 là hai số tự nhiên liên tiếp.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu). Chẳng hạn a < 5 và 5 < 7 suy ra a < 7.

Ví dụ 1. Viết thêm các số liền trước và số liền sau của hai số 2 567 và 3 012 để được sáu số tự nhiên và sắp xếp sáu số đó theo thứ tự giảm dần.

Lời giải

Số liền trước 2 567 là: 2 566;

Số liền sau 2 567 là: 2 568;

Số liền trước 3 012 là: 3 011;

Số liền sau 3 012 là 3 013;

Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần là: 3 013; 3 012; 3 011; 2 568; 2 567; 2 566.

+ Kí hiệu "≤ "  và "≥"

Ta còn dùng kí hiệu a ≤ b (đọc là “a nhỏ hơn hoặc bằng b”) để nói “a < b hoặc a = b”.

Ta còn dùng kí hiệu a ≥ b (đọc là “a lớn hơn hoặc bằng b”) để nói “a > b hoặc a = b”.

Tính chất bắc cầu còn có thể viết: nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c .

Ví dụ 2. Cho tập hợp A = {x ∈ N* | x ≤ 14}. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.

Lời giải

Các số tự nhiên khác không nhỏ hơn hoặc bằng 14 là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 12; 14.

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 12; 14} .

B. Bài tập

Bài 1. Điền các số thích hợp vào chỗ trống để được dãy các số tự nhiên liên tiếp:

a) …….; 102; ………;

b) 2 045; ………; ………;

c) ……; 17; …….; ………

Lời giải

a) Số liền trước của 102 là 101, số liền sau của 102 là 103. Nên ta có: 101; 102; 103.

b) Số liền sau của 2 045 là 2 046, số liền sau của 2 046 là 2 047. Nên ta có: 2 045; 2 046; 2 047.

c) Số liền trước của 17 là 16, số liền sau của 17 là 18, số liền sau của 18 là 19. Nên ta có: 16; 17; 18; 19.

Bài 2. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

a) M = {x ∈ N | 10 ≤ x ≤ 15} 

b) N = {x ∈ N* | x ≤ 3}  ;

c) L = {x ∈ N | x ≤ 3} .

Lời giải

a) Các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 10 nhỏ hơn 15 là: 10; 11; 12; 13; 14.

Theo cách liệt kê, ta viết: M = {10; 11; 12; 13; 14}.

b) Các số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 3 là: 1; 2; 3.

Theo cách liệt kê, ta viết: N = N = {1; 2; 3} .

c) Các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 3 là: 0; 1; 2; 3.

Theo cách liệt kê, ta viết: L = {0; 1; 2; 3}..