Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài 60m, rộng 24m. Người ta chia thành những thửa đất hình vuông bằng nhau, để mỗi thửa đất đó có diện tích lớn nhất thì độ dài cạnh mỗi thửa đất đó là bao nhiêu? 

1. Ước chung

- Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.

- Tập hợp các ước chung của hai số a và b kí hiệu là ƯC(a, b).

x $\in$ ƯC(a, b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x.

- Tương tự, tập hợp các ước chung của a, b, c kí hiệu là ƯC(a, b, c).

x $\in$ ƯC(a, b, c) nếu a ⋮ x, b ⋮ x và c ⋮ x.

Ví dụ:

Ta có: Ư(9) = {1; 3; 9}; Ư(21) = {1; 3; 7; 21}.

Các số 1 và 3 vừa là ước của 9 vừa là ước của 21. Ta nói 1 và 3 là các ước chung của 9 và 21 và viết ƯC(9, 21) = {1; 3}.

Cách tìm ước chung của hai số a và b:

- Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b).

- Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

Ví dụ:

Ư(8) = {1; 2; 4; 8}

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Do đó ƯC(8; 12) = {1; 2; 4}.

2. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

Tương tự, ước chung lớn nhất của a, b và c là ƯCLN(a, b, c).

Nhận xét: Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ:

ƯC(16, 24) = {1; 2; 4; 8} nên ƯCLN(16, 24) = 8, vì 8 là số lớn nhất trong số các ước chung của 16 và 24. Các ước chung của 36 và 45 là 1; 2; 4; 8 đều là ước của 8.

Nhận xét: Với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

Ví dụ: ƯCLN(9, 1) = 1; ƯCLN(5, 18, 1) = 1.

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN (36; 60).

Hướng dẫn giải

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

36 = 22 . 32

60 = 22 . 3 . 5

Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của thừa số 2 là 2 và của 3 là 1.

ƯCLN(18; 30) = 22 . 3 = 12.

Chú ý: Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: ƯCLN(15; 23) = 1 nên 15 và 23 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

4. Ứng dụng trong rút gọn về số tối giản

Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

Phân số tối giản: ab là phân số tối giản nếu ƯCLN(a, b) = 1.

Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản:

Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN(a, b).

Ví dụ: Phân số $9/24 là\; phân\; số\; tối\; giản\; chưa?\; Nếu\; chưa,\; hãy\; rút\; gọn\; về\; phân\; số\; tối\; giản.$

Hướng dẫn giải

Vì ƯCLN(9, 24) = 3 ≠ 1 nên 9/24 chưa phải là phân số tối giản.

Ta có:  

Khi đó, ta được 3/8 là phân số tối giản.