Tính chất kết hợp của phép cộng là:

1. Cộng hai số nguyên cùng dấu

− Muốn cộng hai số nguyên dương, ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên.

− Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng rồi thêm dấu trừ đằng trước kết quả.

− Tổng của hai số nguyên cùng dấu luôn cùng dấu với hai số nguyên đó.

Chú ý:

Cho a, b là hai số nguyên dương, ta có:

(+a) + (+b) = a + b

(−a) + (− b) = − (a + b)

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

a) 8 + 12;

b) (−15) + (−9);

c) (−65) + (−35).

Hướng dẫn giải

a) 8 + 12 = 11;

b) (−15) + (−9) = − (15 + 9) = −24;

c) (−65) + (−35) = − (65 + 35) = −100.

2. Cộng hai số nguyên khác dấu

a) Cộng hai số đối nhau

Tổng hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: a + (− a) = 0.

Ví dụ: 20 và −20 là hai số đối nhau.

Khi đó, 20 + (− 20) = 0.

b) Cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau

Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta làm như sau:

− Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta lấy số dương trừ đi số đối của số âm.

− Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta lấy số đối của số âm trừ đi số dương rồi thêm dấu trừ trước kết quả.

Chú ý: Khi cộng hai số nguyên trái dấu:

− Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.

− Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng 0.

− Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta có tổng âm.

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

a) 18 + (−21);

b) (−6) + 12;

c) 25 + (−14).

Hướng dẫn giải

a) 18 + (−21) = − (21 – 18) = − 3;

b) (−6) + 12 = 12 – 6 = 6;

c) 25 + (−14) = 25 – 14 = 11.

3. Tính chất của phép cộng các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

Phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán, nghĩa là: a + b = b + a

Chú ý: a + 0 = 0 + a = a.

Ví dụ:

25 + 18 = 18 + 25;

16 + (−35) = (−35) + 16;

(−26) + (−47) = (−47) + (−26).

b) Tính chất kết hợp

Phép cộng các số nguyên có tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)

Chú ý:

− Tổng (a + b) + c hoặc a + (b + c) là tổng của ba số nguyên a, b, c và viết là a + b + c; với a, b, c là các số hạng của tổng.

− Để tính tổng của nhiều số, ta có thể thay đổi tùy ý thứ tự các số hạng (tính giao hoán), hoặc nhóm tùy ý các số hạng (tính kết hợp) để việc tính toán được đơn giản và thuận lợi hơn.

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

a) 25 + (−75) + (−25) + 75;

b) (−2 022) + 2 021 + 21 + (−20).

Hướng dẫn giải

a) 25 + (−75) + (−25) + 75

= 25 + (−25) + (−75) + 75 (tính chất giao hoán)

= [25 + (−25)] + [(−75) + 75] (tính chất kết hợp)

= 0 + 0 = 0.

b) (−2 022) + 2 021 + 21 + (−20)

= (−2 022) + (−20) + 2 021 + 21 (tính chất giao hoán)

= [(−2 022) + (−20)] + (2021 + 21) (tính chất kết hợp)

= (−2042) + 2042 = 0.

4. Phép trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

a – b = a + (−b)

Chú ý:

− Cho hai số nguyên a và b. Ta gọi a – b là hiệu của a và b (a được gọi là số bị trừ, b là số trừ).

− Phép trừ luôn thực hiện được trong tập hợp số nguyên.

Như vậy, hiệu của hai số nguyên a và b là tổng của a và số đối của b.

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

a) 5 – 11;

b) 26 – (–12);

c) (–38) – (–50).

Hướng dẫn giải

a) 5 – 11 = 5 + ( −11) = −6;

b) 26 – (–12) = 26 + 12 = 38;

c) (–38) – (–50) = (−38) + 50 = 50 – 38 = 12.

5. Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc, nếu đằng trước dấu ngoặc:

• có dấu “+”, thì vẫn giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc

+ (a + b – c) = a + b – c

• có dấu “–”, thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc

− (a + b – c) = − a − b + c

Ví dụ: Tính M = (− 25) + (−2) – (−75) + (−8).

Hướng dẫn giải

M = (− 25) + (−2) − (−75) + (−8)

= [(− 25) − (−75)] + [(−2) + (−8)]

= − (25 + 75) + (− 10)

= (− 100) + (− 10)

= − (100 + 10) = −110.