Cho phương trình x² – (2m + 1)x + m² + 1 = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m $\in Z$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho biểu thức $P=\frac{x_1{x}_2}{x_1+x_2}$ có giá trị là số nguyên

Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y =mx + 4. Biết đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x₁; x₂ là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của $Q=\frac{2\left(x_1+x_2\right)+7}{{x_1}^2+{x_2}^2}$ 

Cho phương trình x² – (m + 1)x – 3 = 0  (1), với x là ẩn, m là tham số. Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt $B=\frac{3x_1^2+3x_2^2+4x_1+4x_2-5}{x_1^2+x_2^2-4}$ . Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất.

Cho phương trình: x² – 2(m – 1)x + m² − 3m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 8

Tìm m để phương trình 3x² + 4(m – 1)x + m² – 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:  $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\left(x_1+x_2\right)$

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 1. Gọi A (x₁; y₁) và B (x₂; y₂) là các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để biểu thức M = (y₁ − 1)( y₂ − 1) đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a² = 0 và parabol (P): y = ax² (a > 0). Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó có kết luận gì về vị trí của hai điểm A, B

Cho parabol (P): $y=\frac{1}{4}{x}^2$ và đường thẳng d: $y=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}$. Gọi A, B là các giao điểm của (P) và d. Tìm tọa độ điểm C trên trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.

Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = 2$\sqrt{10}$  

Tìm tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m và parabol (P): y = 2x² không có điểm chung

Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = 2(m – 1)x – m – 1 cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): $y=\frac{1}{4}{x}^2$ và đường thẳng (d): x – 2y + 12 = 0. Gọi giao điểm của (d) và (P) là A, B. Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = kx $+ \frac{1}{2}$ và parabol (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?

Tìm các giá trị của m để phương trình x² – mx + m² – m – 3 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC tại A biết độ dài cạnh huyền BC = 2

Chiều cao của một tam giác vuông là 8cm chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng hơn kém nhau 12cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình $y=\frac{-x^2}{2}$. Gọi (d) là đường thẳng đi qua I (0; −2) và có hệ số góc k. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Khi đó tam giác IHK là tam giác?