Một công nhân được giao làm một số sản phẩm trong thời gian nhất định. Khi còn làm nốt 30 sản phẩm cuối cùng người đó thấy nếu cứ giữ nguyên năng suất thì sẽ chậm 30 phút. Nếu tăng năng suất thêm 55 sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm hơn dự định là 30 phút. Tính năng suất của người thợ lúc đầu.

Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y =mx + 4. Biết đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x₁; x₂ là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của $Q=\frac{2\left(x_1+x_2\right)+7}{{x_1}^2+{x_2}^2}$ 

Cho phương trình x² – (m + 1)x – 3 = 0  (1), với x là ẩn, m là tham số. Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt $B=\frac{3x_1^2+3x_2^2+4x_1+4x_2-5}{x_1^2+x_2^2-4}$ . Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất.

Cho phương trình: x² – 2(m – 1)x + m² − 3m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 8

Tìm m để phương trình 3x² + 4(m – 1)x + m² – 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:  $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\left(x_1+x_2\right)$

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 1. Gọi A (x₁; y₁) và B (x₂; y₂) là các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để biểu thức M = (y₁ − 1)( y₂ − 1) đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a² = 0 và parabol (P): y = ax² (a > 0). Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó có kết luận gì về vị trí của hai điểm A, B

Cho parabol (P): $y=\frac{1}{4}{x}^2$ và đường thẳng d: $y=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}$. Gọi A, B là các giao điểm của (P) và d. Tìm tọa độ điểm C trên trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.

Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = 2$\sqrt{10}$  

Tìm tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m và parabol (P): y = 2x² không có điểm chung

Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = 2(m – 1)x – m – 1 cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): $y=\frac{1}{4}{x}^2$ và đường thẳng (d): x – 2y + 12 = 0. Gọi giao điểm của (d) và (P) là A, B. Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = kx $+ \frac{1}{2}$ và parabol (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?

Tìm các giá trị của m để phương trình x² – mx + m² – m – 3 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC tại A biết độ dài cạnh huyền BC = 2

Chiều cao của một tam giác vuông là 8cm chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng hơn kém nhau 12cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình $y=\frac{-x^2}{2}$. Gọi (d) là đường thẳng đi qua I (0; −2) và có hệ số góc k. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Khi đó tam giác IHK là tam giác?