1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A’ sao cho $\frac{BA\text{'}}{A\text{'}C}=3$. Trên cạnh CA lấy điểm B’ sao cho $\frac{CB\text{'}}{B\text{'}A}=\frac{1}{3}$. Gọi C’ là giao điểm của A’B’ và AB. Chứng minh rằng C’ là trung điểm của AB.

2. Chứng minh bài toán tổng quát: nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác ABC và cắt các đường thẳng BC, CA, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’ thì $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}C\text{'}}.\frac{CA\text{'}}{A\text{'}B\text{'}}.\frac{BC\text{'}}{C\text{'}A}=1$

Cho tam giác ABC có $\hat{A}=120°$, AB=3cm, AC=6cm. Tính độ dài đường phân giác AD.

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM. Các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng $A{E}^2=EB.EF$

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:

1. $A{E}^2=EK.EG$

2. $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}$

3. Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:

1. $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{NC}$

2. $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{ND}$

3. MA=MB; NC=ND.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân tại B, ACF vuông cân tại C. Gọi h là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng:

1. AH = AK

2. $A{H}^2=BH.CK$

Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G, M là một điểm bất kì nằm bên trong tam giác. Đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’. Chứng minh rằng $\frac{A\text{'}M}{A\text{'}G}+\frac{B\text{'}M}{B\text{'}G}+\frac{C\text{'}M}{C\text{'}G}=3$

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kì trên cạnh BC. Đường thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng đi qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE = BK.

Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC)

1. Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm, BC = 6cm. Tổng quát với AB = c, BC = a.

2. Chứng minh rằng $BD<\frac{2ac}{a+c}$ với AB = c, BC = a

3. Tính độ dài AB, Bc, biết AD = m, DC = n, cạnh hình thoi bằng d.

Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính $\widehat{AMC}$

Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm của CD, N là trung điểm của CB. Biết rằng AM và AN cắt đường chéo BD thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng d song song với hai cạnh đáy cắt hai cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M, N và cắt hai đường chéo BD, AC theo thứ tự ở H, K.

1. Chứng minh rằng MH = KN

2. Hãy nêu cách dựng đường thẳng d sao cho MH = KH = KN

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC. Chứng minh rằng BM vuông góc với AD.

Cho tam giác có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC theo thứ tự ở P, Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng HM vuông góc với PQ.

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng AD, kẻ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Chứng minh rằng NI vuông góc với BC.

Tam giác ABC có AC > AB, AC = 45cm. Hình chiếu của AC và AB trên BC theo thứ tự là 27cm và 15cm. Đường trung trực của BC cắt AC ở N. Tính độ dài CN.