Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC)

1. Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm, BC = 6cm. Tổng quát với AB = c, BC = a.

2. Chứng minh rằng $BD<\frac{2ac}{a+c}$ với AB = c, BC = a

3. Tính độ dài AB, Bc, biết AD = m, DC = n, cạnh hình thoi bằng d.

Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Chứng minh rằng tỉ số $\frac{KE}{KD}$ không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E.

Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:

1. $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{NC}$

2. $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{ND}$

3. MA=MB; NC=ND.

Trong hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 28cm, CD = 70cm, AD = 35 cm, vẽ mọt đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF biết rằng DE = 10cm.

Gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC của hình thang ABCD. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt các đường thẳng AC, BD theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng OM = ON.

Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy AB = a, CD = b. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng $\frac{1}{OE}=\frac{1}{OG}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng d song song với hai cạnh đáy cắt hai cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M, N và cắt hai đường chéo BD, AC theo thứ tự ở H, K.

1. Chứng minh rằng MH = KN

2. Hãy nêu cách dựng đường thẳng d sao cho MH = KH = KN

Tam giác ABC có AC > AB, AC = 45cm. Hình chiếu của AC và AB trên BC theo thứ tự là 27cm và 15cm. Đường trung trực của BC cắt AC ở N. Tính độ dài CN.

Cho hình bình hành ABCD, điểm G chia trong cạnh DC theo tỉ số 1 : 2, điểm K chia trong cạnh BC theo tỉ số 3 : 2. Tính độ dài ba đoạn thẳng do AG, AK định ra trên BD, biết rằng BD = 16cm.

Cho tam giác ABC có $\hat{A}=120°$, AB=3cm, AC=6cm. Tính độ dài đường phân giác AD.

Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$. Tính số đo góc BAC.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt cạnh AB ở D, cắt cạnh BC ở K và cắt tia đối của tia CA ở E sao cho BD = CE thì tỉ số $\frac{KE}{KD}$ không đổi.

Cho tam giác ABC, điểm D chia trong cạnh BA theo tỉ số 1 : 2, điểm E chia trong cạnh AC theo tỉ số 2 : 5. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng ED và BC. Tính tỉ số FB : FC

Cho tam giác ABC, điểm D chia trong cạnh BC theo tỉ số 1 : 2, điểm O chia trong AD theo tỉ số 3 : 2. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỉ số AK:KC

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kì trên cạnh BC. Đường thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng đi qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE = BK.

Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD, CD, O là giao điểm của AE, DF; OA = 4OE, $OD=\frac{2}{3}OF$. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng AD và BC theo thứ tự ở I và K. chứng minh rằng: IA:ID=KB:KC

1. Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia, chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở H, K. Chứng minh rằng tổng $\frac{AH}{AB}+\frac{AK}{AC}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh BC.

2. Xét trường hợp tương tự khi điểm M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.

1. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm O của AM, vẽ đường thẳng cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở B’, C’. chứng minh rằng khi đường thẳng thay đổi vị trí mà vẫn đi qua O thì tổng $\frac{AB}{AB\text{'}}+\frac{AC}{AC\text{'}}$ không đổi

2. Tổng quát hóa bài toán trên khi O là một điểm cố định trên đoạn thẳng AM.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC. Chứng minh rằng BM vuông góc với AD.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = 10cm, AE = 15cm. Tính độ dài BC.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân tại B, ACF vuông cân tại C. Gọi h là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng:

1. AH = AK

2. $A{H}^2=BH.CK$

Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm của CD, N là trung điểm của CB. Biết rằng AM và AN cắt đường chéo BD thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính $\widehat{AMC}$

Cho tam giác ABC. Một đường thẳng cắt các cạnh BC, CA theo thứ tự ở D, E và cắt đường thẳng BA ở F. vẽ hình bình hành BDEF. Đường thẳng đi qua F và song song với BC cắt HA ở I. chứng minh rằng FI = DC.

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng AD, kẻ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Chứng minh rằng NI vuông góc với BC.

Cho tam giác có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC theo thứ tự ở P, Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng HM vuông góc với PQ.

Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi E là một điểm bất kì thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Chứng minh rằng NM là tia phân giác của góc KNE.

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM. Các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng $A{E}^2=EB.EF$

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:

1. $A{E}^2=EK.EG$

2. $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}$

3. Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

Cho tam giác đều ABC. Các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho AD = CE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH song song với CD (H thuộc AB), vẽ MK song song với BE (K thuộc AC). Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi.

Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G, M là một điểm bất kì nằm bên trong tam giác. Đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’. Chứng minh rằng $\frac{A\text{'}M}{A\text{'}G}+\frac{B\text{'}M}{B\text{'}G}+\frac{C\text{'}M}{C\text{'}G}=3$

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Chứng minh rằng

1. AE = DF

2. AE vuông góc với DF

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có diện tích S, $AB = \frac{2}{3}CD$. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE. N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S.

1. Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho $\frac{CN}{ND}=2$. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Chứng minh rằng $S_{APQ}=\frac{1}{2}{S}_{AMN}$

2. Chứng minh rằng kết luận ở câu 1 vẫn đúng nếu thay điều kiện “M là trung điểm của BC, N trên cạnh CD sao cho $\frac{CN}{ND}=2$” bởi điều kiện tổng quát hơn “M trên cạnh BC, N trên cạnh CD sao cho $\frac{CN}{ND}=2\frac{BM}{MC}$”

Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng thay đổi vị trs nhưng luôn đi qua M cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự ở A, B. Gọi $S_1, S_2$ theo thứ tự là diện tích các tam giác MOA, MOB. Chứng minh rằng tổng $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$ có giá trị không đổi

Cho góc xOy. Các điểm A và B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox và Oy sao cho $\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{1}{k}$ (k là hằng số). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho $\frac{DE}{DA}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3}$. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EF với BD, AC. Chứng minh rằng EM = NF

1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A’ sao cho $\frac{BA\text{'}}{A\text{'}C}=3$. Trên cạnh CA lấy điểm B’ sao cho $\frac{CB\text{'}}{B\text{'}A}=\frac{1}{3}$. Gọi C’ là giao điểm của A’B’ và AB. Chứng minh rằng C’ là trung điểm của AB.

2. Chứng minh bài toán tổng quát: nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác ABC và cắt các đường thẳng BC, CA, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’ thì $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}C\text{'}}.\frac{CA\text{'}}{A\text{'}B\text{'}}.\frac{BC\text{'}}{C\text{'}A}=1$

1. Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta lấy các điểm tương ứng A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy thì $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}C\text{'}}.\frac{CA\text{'}}{A\text{'}B\text{'}}.\frac{BC\text{'}}{C\text{'}A\text{'}}=1$

2. Chứng minh rằng kết luận trên vẫn đúng nếu các điểm A’, B’, C’ thuộc các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác, trong đó có đúng hai điểm nằm ngoài tam giác.

Cho tam giác ABC. Tâm O của các hình chữ nhật MNPQ thay đổi nhưng luôn có M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC, chuyển động trên đường nào?