Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: Nếu a>b thì $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

1. Bất đẳng thức

Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức.

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Tính chất: Cho ba số a, b và c, ta có:

Nếu a < b thì a + c < b + c;

Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c;

Nếu a > b thì a + c > b + c;

Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có:

Nếu a < b thì ac < bc;

Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc;

Nếu a > b thì ac > bc;

Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:

Nếu a < b thì ac > bc;

Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc;

Nếu a > b thì ac < bc;

Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

5. Bất phương trình một ẩn

- Định nghĩa bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là hệ thức A (x) > B (x) hoặc A (x) < B (x) hoặc A (x) ≥ B (x) hoặc A (x) ≤ B (x).

Trong đó: A (x) gọi là vế trái; B (x) gọi là vế phải.

- Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

6. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

7. Hai quy tắc biến đổi

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

8. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

Dạng ax + b > 0 $\iff$ ax > − b.

 x > $\frac{-b}{a}$ nếu a > 0 hoặc x < $\frac{-b}{a}$ nếu a < 0.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:

$S=\left\{\begin{array}{l}a>0\\ x>-\frac{b}{a}\end{array}\right.$

Hoặc $S=\left\{\begin{array}{l}a<0\\ x<-\frac{b}{a}\end{array}\right.$

Các dạng toán như ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 tương tự như trên.

9. Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b < 0 ; ax + b > 0 ; ax + b ≤ 0 ;  ax + b ≥ 0

Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b > 0: Để giải các phương trình đưa được về ax + b > 0, ta thường biến đổi phương trình như sau:

Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có).

Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax > c.

Bước 3: Tìm x.

Các phương trình đưa được về dạng ax + b < 0, ax + b ≤ 0 hoặc ax + b ≥ 0 làm tương tự như trên.

10. Giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau:

$\left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}akhia\ge 0;\\ -akhia<0.\end{array}\right.$

11. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Phương pháp chung

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Rút gọn hai vế của phương trình, giải phương trình.

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét.

Bước 4: Kết luận nghiệm.

b) Một số dạng cơ bản

Dạng | A | = B

Cách 1: $\left|A\right|=B\iff \left\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ A=B\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}A<0\\ -A=B\end{array}\right.$

Cách 2: $\left|A\right|=B\iff \left\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=-B\end{array}\right.$

Dạng | A | = | B | $\iff$ A = B hoặc A = − B.

Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

- Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối.

- Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.

- Xét từng khoảng, khử các dấu giá trị tuyệt đối, rồi giải phương trình tương ứng trong trường hợp đó.

- Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của phương trình đã cho.