Kết quả rút gọn của biểu thức $\frac{a+\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}}$ (với a, b > 0) là ?

1. Căn bậc hai của một tích

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{9.36}$;

b) $\sqrt{64.121}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{9.36}=\sqrt{9}.\sqrt{36}=3.6=18$.

b) $\sqrt{64.121}=\sqrt{64}.\sqrt{121}=8.11=88$.

Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.

Ví dụ 2. Ta có thể mở rộng đối với nhiều số không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{81.100.144}=\sqrt{81}.\sqrt{100}.\sqrt{144}$.

2. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.

$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$ (với a, b ≥ 0).

Ví dụ 3. Áp dụng khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{169.225}$;

b) $\sqrt{0,25.1,44.3,24}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{169.225}=\sqrt{169}.\sqrt{225}=13.15=195$;

b) $\sqrt{0,25.1,44.3,24}=\sqrt{0,25}.\sqrt{1,44}.\sqrt{3,24}$ 

= 0,5 . 1,2 . 1,8 = 1,08.

3. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

$\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$ (với a, b ≥ 0).

Ví dụ 4. Tính:

a) $\sqrt{3}.\sqrt{27}$;

b) $\sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{40}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{3}.\sqrt{27}=\sqrt{3.27}=\sqrt{81}=9$.

b) $\sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{40}=\sqrt{2.5.40}=\sqrt{400}=20$.

Chú ý. Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm ta có:

$\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$.

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có:

${\left(\sqrt{A}\right)}^2=\sqrt{A^2}=A$.

Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}$ với a < 0;

b) $\sqrt{25a^4{b}^2}$.

Lời giải:

a)  $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}=\sqrt{5a.45a}=\sqrt{225a^2}$ 

$=\sqrt{{\left(15a\right)}^2}=\left|15a\right|=-15a$ (vì a < 0).

b) $\sqrt{25a^4{b}^2}=\sqrt{25}.\sqrt{a^4}.\sqrt{b^2}$