Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+y=3\\ \frac{1}{x}-2y=4\end{array}\right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là (x; y), tính $\frac{x}{y}$

1. Quy tắc cộng đại số;

Định nghĩa: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

Các bước cộng đại số:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình đã cho để được phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 3x+y=10\end{array}\right.$(I). Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đổi hệ phương trình.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\text{ (1)}\\ 3x+y=10\text{ (2)}\end{array}\right.$. Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2) ta được hệ mới:

$\left\{\begin{array}{l}(2x-y)+(3x+y)=5+10\\ 2x-y=5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y+3x+y=15\\ 2x-y=5\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}5x=15\\ 2x-y=5\end{array}\right.$ 

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a) Trường hợp thứ nhất: Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hệ phương trình đã bằng nhau hoặc đối nhau

Bước 1: Cộng (trừ) vế với với của hai phương trình ban đầu với nhau đề được phương trình mới.

Bước 2: Viết lại hệ phương trình mới với một phương trình là phương trình mới sau khi đã cộng (trừ) đại số và một phương trình là phương trình ban đầu của hệ. Giải hệ phương trình.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+3y=5\\ 4x+3y=11\end{array}\right.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+3y=5\text{ (1)}\\ 4x+3y=11\text{ (2)}\end{array}\right.$. Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:

$\left\{\begin{array}{l}(x+3y)-(4x+3y)=5-11\\ x+3y=5\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+3y-4x-3y=-6\\ x+3y=5\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}-3x=-6\\ x+3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=(-6):(-3)\\ x+3y=5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 3y=5-2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 3y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (2; 1).

b) Trường hợp thứ 2: Các hệ số của mỗi ẩn trong phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với các số thích hợp sao cho với một ẩn nào đó các hệ số bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng (trừ) vế với với của hai phương trình ban đầu với nhau đề được phương trình mới.

Bước 3: Viết lại hệ phương trình mới với một phương trình là phương trình mới sau khi đã cộng (trừ) đại số và một phương trình là phương trình ban đầu của hệ. Giải hệ phương trình.

Ví dụ 3: Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5\text{ (1)}\\ 3x+2y=7\text{ (2)}\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ mới

$\left\{\begin{array}{l}3.(2x+3y)=3.5\\ 2.(3x+2y)=2.7\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}6x+9y=15\\ 6x+4y=14\end{array}\right.$