Tứ giác ABCD có $\stackrel{⏜}{\mathrm{B}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{D}}={90}^0$. Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.

Trên dây cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$ của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng $\stackrel{⏜}{\mathrm{AE}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{BF}}<\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AE.

a) Chứng minh rằng BECD là hình thang cân.

b) Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.

c) Tính bán kính của đường tròn biết BC = 24cm, IM = 8cm.

Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K. Chứng minh rằng  là tam giác cân.

Hai đường tròn (O) và (O’) cùng bán kính cắt nhau tại M và N.

a) Chứng minh rằng hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{MN}}$ của hai đường tròn bằng nhau.

b) Vẽ các đường kính MA của đường tròn (O) và đường kính MB của đường tròn (O’). Chứng minh rằng $\stackrel{⏜}{\mathrm{NA}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{NB}}$

c) Vẽ đường kính NOC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{MN}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{AC}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{CD}}$ bằng nhau.

Cho $∆\mathrm{ABC}$. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp $∆\mathrm{DBC}$. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc với OH, OK với BC và BD ($\mathrm{H}\in \mathrm{BC}, \mathrm{K}\in \mathrm{BD}$)

a) Chứng minh rằng OH > OK

b) So sánh hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BD}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’)

a) So sánh các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{BD}}$.

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{EBD}}$ (tức là điểm B chia cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{EBD}}$ thành hai cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{\mathrm{BE}}= \stackrel{⏜}{\mathrm{BD}}$)

a) Vẽ đường tròn tâm (O), bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$ có số đo bằng ${60}^0$. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xen – ti – mét?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như hình dưới

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Cho $∆$ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng

a) $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$

b) $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}<\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$

Chứng minh rằng hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.