Cho đường tròn (O; R), AC và BD là hai đường kính. Xác định vị trí của hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất
A. AC BD
B. AC tạo với BD góc
C. AC tạo với BD góc
D. AC tạo với BD góc
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Vẽ AH BD (H BD)
Tứ giác ABCD có OA = OC = R, OB = OD = R nên là hình bình hành
Mà AC = BD = 2R do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật, suy ra
ABD có , AH DB nên AB.AD = AH.DB
Vì AH AO, DB = 2R nên (không đổi).
Dấu “=” xảy ra H O AC BD
Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và dây AC. Biết rằng khoảng cách từ O lần lượt đến AC và BC là 8cm và 6cm. Lấy D đối xứng với A qua C. Chọn câu sai?
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), AH là đường cao (H BC). Chọn câu đúng
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. CD là dây cung của (O), , CD cắt AB tại M (D nằm giữa C và M) và OM = 2R. Tính độ dài các đoạn thẳng MD, MC theo R
Tam giác đều có cạnh 8cm thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là?
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Gọi N = AD BC, H = MN AB. Chọn câu đúng nhất
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là trung điểm của BC. Dựng đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC và các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của MN với AD. Chọn câu đúng
Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE; kéo dài AE cắt BC tại M. chọn câu đúng nhất
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Tìm vị trí điểm C và D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14, biết AB = 4cm
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, AB, AC lần lượt ở D, E, F. Đường thẳng qua E song song với BC cắt AD, DF lần lượt ở M, N. Khi đó M là trung điểm của đoạn thẳng
Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O; R) cắt nhau tại M. Nếu thì góc ở tâm bằng:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = 5cm, AC = 12cm và đường cao AH = 3cm (H nằm ngoài BC), khi đó R bằng?
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O) và C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm
Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại F. Vẽ đường kính DE của đường tròn (O). Chọn đáp án đúng nhất
1. Định nghĩa về đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).
+ Điểm A nằm trên đường tròn (O; R) khi và chỉ khi OA = R.
+ Điểm A nằm trong đường tròn (O; R) khi và chỉ khi OA < R.
+ Điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) khi và chỉ khi OA > R.
Bổ sung kiến thức:
- Đường tròn đi qua các điểm A1, A2, ..., An gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A2...An.
- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác A1A2...An gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O; 5 cm). Biết độ dài OA = 5 cm, OB = 3 cm, OC = 8 cm. Xác định vị trí các điểm A, B, C đối với đường tròn (O).
Lời giải:
Ta có:
+ OA = 5 cm nên điểm A nằm trên đường tròn (O; 5 cm).
+ OB = 3 cm < 5 cm nên điểm B nằm trong đường tròn (O; 5 cm).
+ OC = 8 cm > 5 cm nên điểm C nằm ngoài đường tròn (O; 5 cm).
Ta có hình vẽ:
Vậy điểm A nằm trên đường tròn (O), điểm B nằm trong đường tròn (O) và điểm C nằm ngoài đường tròn (O).
2. Cách xác định đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua 3 điểm thẳng hàng.
• Trong tam giác vuông: tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
• Trong tam giác đều: tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.
• Trong tam giác thường:
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác đó.
+ Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Ví dụ 1.
+ Ba đường trung trực của ba cạnh của ∆ABC cắt nhau tại điểm O.
Khi đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
+ Ba đường phân giác của ba cạnh của ∆MNP cắt nhau tại điểm I.
Khi đó, I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MNP.
3. Tâm đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), A là một điểm bất kì thuộc đường tròn. Vẽ A’ đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng điểm A’ cũng thuộc đường tròn (O).
Lời giải:
Do A' đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AA'.
Khi đó, OA = OA' = R.
Do đó, điểm A' nằm trên đường tròn (O).
Vậy điểm A' cũng thuộc đường tròn (O).
4. Trục đối xứng
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn.
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O), AB là một đường kính bất kì và M là một điểm thuộc đường tròn (O). Lấy điểm N đối xứng với điểm N qua AB.
Khi đó, điểm N cũng thuộc đường tròn (O).
5. So sánh độ dài của đường kính và dây
Định lí 1. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Ví dụ 1. Gọi AB là một dây bất kỳ của đường tròn (O; R).
Chứng minh rằng AB ≤ 2R.
Lời giải:
* Trường hợp 1: AB là đường kính.
Khi đó, AB = 2R (1)
* Trường hợp 2: AB không là đường kính.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ∆AOB, ta có:
AB < AO + OB = R + R = 2R (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB ≤ 2R (đpcm).
6. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Định lí 2. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây CD của đường tròn (O). Biết tại I.
Khi đó, IC = ID (như hình vẽ).
Định lí 3. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính MN và dây AB. Đường kính MN đi qua trung điểm của dây AB.
Khi đó (như hình vẽ).
7. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý 1. Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD.
Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây AB và CD.
Khi đó:
+ Nếu AB = CD thì OH = OK.
+ Nếu OH = OK thì AB = CD.
Vậy AB = CD ⇔ OH = OK.
Định lý 2. Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD.
Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây AB và CD.
Khi đó:
+ Nếu AB > CD thì dây gần tâm O hơn dây CD hay OH < OK.
+ Nếu OH < OK thì AB > CD.
Vậy OH < OK ⇔ AB > CD.
8. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung A và B, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau. Đường thẳng a còn gọi là cát tuyến của đường tròn (O).
Gọi OH là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.
+ Trường hợp 1: Đường thẳng a đi qua điểm O.
Khi đó, AB là đường kính và O ≡ H (hay OH = 0).
Do đó: HA = HB = R = (1)
+ Trường hợp 2: Đường thẳng a không đi qua điểm O.
Khi đó, AB là dây của đường tròn (O) và .
Xét ∆OBH vuông tại H, theo định lý Py-ta-go:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau. Ta nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm C gọi là tiếp điểm.
Định lí. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Ví dụ 1. Đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O), C là tiếp điểm của đường tròn (O) thì OC là bán kính.
Khi đó, đường thẳng a vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm C.
Gọi OH là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.
Do đó H trùng với C, và OH = R.
c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.
Gọi OH là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.
Khi đó, OH > R.
9. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn
|
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
Số điểm chung |
Hệ thức giữa d và R |
|
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau |
2 |
d < R |
|
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau |
1 |
d = R |
|
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau |
0 |
d > R |
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O; 6), đường thẳng a cách điểm O là 4. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O) ?
Lời giải:
Gọi OH là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.
Ta có OH < R (vì 4 < 6).
Do đó, đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 2 điểm phân biệt.
10. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Hai dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn:
• Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
• Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 1. Đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung là C.
Khi đó, đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Định lí. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 2. Cho điểm H thuộc đường tròn (O). Đường thẳng Δ đi qua điểm H và Δ ⊥ OH
Khi đó, đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
11. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là tiếp điểm). Khi đó:
• Điểm A cách đều hai tiếp điểm B và C hay AB = AC.
• AO là tia phân giác của .
