Đáp án D

Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AC và BC, ta có:

OH = 8 (cm); OK = 6 (cm) và HA = HC = $\frac{AC}{2}$; KB = KC = $\frac{BC}{2}$ (định lí đường kính dây cung)

AB là đường kính nên $\widehat{ACB} = {90}^o$

Do đó tứ giác CHOK là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

$\Rightarrow$ OH = CK = 8 (cm) $\Rightarrow$ BC = 16 (cm)

Tương tự ta có AC = 12 (cm)

Xét tam giác vuông OHC, ta có:

$OC = \sqrt{O{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}= q0$ (cm) (Định lý Pytago)

$∆$ABD có đường cao BC đồng thời là đường trung tuyến nên $∆$ABD cân tại B

Ta có BD = BA = 2R (cm), điểm B cố định, 2R không đổi.

Vậy D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R. Do đó D sai

Đáp án C

Xét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thang

Vì hai tiếp tuyến CD và Ax cắt nhau tại C, hai tiếp tuyến DC và By cắt nhau tại D nên AC = CM; BD = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chu vi hình thang ABDC là:

$C_{ABDC min} khi C{D}_{min} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD // AB$

Mà OM $\perp$ CD $\Rightarrow$ OM $\perp$ AB $\Rightarrow C_{ABDC min} = AB + 2AB = 3AB$

Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang ABDC là 2AB khi OM $\perp$ AB

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của CD

Suy ra I là tâm của đường tròn đường kính CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM và BD = DM

Xét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thang

$\Rightarrow$ IO là đường trung bình của hình thang ABDC

$\Rightarrow$ IO // AC // BD mà AC $\perp$ AB $\Rightarrow$ IO $\perp$ AB (1)

$IO =\frac{AC+BD}{2}=\frac{CM+DM}{2}=\frac{CD}{2} \left(2\right)$

Suy ra tam giác COD vuông tại O

$$\begin{gathered} C_{ABDC} = 14 \iff AB + 2CD=14 \\ \Rightarrow CD=\frac{14-AB}{2}=\frac{14-4}{2}= 5cm \end{gathered}$$

Lại có: CD = CM + DM = AC + BD  AC = CD – BD = 5 – BD

Mà tam giác COD vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông COD ta có:

$$\begin{gathered} O{M}^2 = CM . DM\iff 2^2 = AC . BD \\ \iff AC . BD = 4\iff (5 – BD). BD = 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 5BD – B{D}^2 = 4\iff B{D}^2 – 5BD + 4 = 0 \\ \iff B{D}^2 – BD – 4BD + 4 = 0 \end{gathered}$$

$\iff$ BD (BD – 1) – 4(BD – 1) = 0 $\iff$ (BD – 1) (BD – 4) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}BD-1=0\\ BD-4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}BD=1\Rightarrow AC=4\\ BD=4\Rightarrow AC=1\end{array}\right.$

Vậy với AC = 4cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 4cm thì chu vi của hình thang ABDC bằng 14

Đáp án A

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AC = CM và BD = DM;

AC // BD (vì cùng vuông góc với AB)

Theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

$\frac{CN}{BN}=\frac{AC}{BD}\Rightarrow \frac{CN}{BN}=\frac{CM}{DM}$

Theo định lý Ta-lét đảo ta được MN // BD

Mà BD $\perp$ AB $\Rightarrow$ MN $\perp$ AB nên A đúng

Theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

$\frac{NH}{BD}=\frac{AH}{AB}=\frac{CN}{CB}=\frac{MN}{BD}$ $\Rightarrow$ MN = NH nên B sai

Đáp án A

Ta có IO là tia phân giác của $\widehat{BIA}$

IO’ là tia phân giác của $\widehat{CIA}$

Mà $\widehat{BIA}+\widehat{CIA}= {180}^o\Rightarrow \widehat{OIO\text{'}}= {90}^o$

Tam giác OIO’ vuông tại I có IA là đường cao nên $I{A}^2 = AO.AO’ = 9.4 = 36$

$\Rightarrow$ IA = 6cm $\Rightarrow$ IA = IB = IC = 6cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy BC = 2IA = 2.6 = 12 (cm)

Đáp án D

Vẽ đường kính AD

Xét $∆$AHB vuông tại H ta có $A{B}^2 = A{H}^2 + H{B}^2$ (Py-ta-go)

Mà AB = 5cm, AH = 3cm nên HB = 4cm

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{ADC} + \widehat{ABC} = {180}^o$ (tính chất)

Lại có $\widehat{ABC} + \widehat{ABH} = {180}^o$ (kề bù) nên $\widehat{ADC} =\widehat{ABH}$

Xét $∆$AHB và $∆$DCA có:

$\widehat{AHB} = \widehat{ACD} = {90}^o$

$\widehat{ADC} =\widehat{ABH}$ (cmt)

$\Rightarrow ∆AHB \backsim ∆DCA (g.g)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{HB}{CA}=\frac{AB}{DA}\Rightarrow DA=\frac{CA.AB}{HB}=\frac{12.5}{4}=15 \\ \Rightarrow OA=\frac{15}{2} = 7,5cm \end{gathered}$$

Đáp án D

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. Vậy O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác mà tam giác ABC đều nên O là giao điểm 3 đường trung tuyến của tam giác ABC. Vậy bán kính đường tròn (O) là OG với BG là trung tuyến của tam giác ABC

Vì tam giác ABC đều nên ta tính được:

$$\begin{gathered} BG = \sqrt{B{C}^2-C{G}^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3} cm \\ \Rightarrow OG = \frac{BG}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3} cm \end{gathered}$$

Đáp án A

Có AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM vuông góc với OA

Xét tam giác AOM vuông tại A nên có $\tan \widehat{AOM} =\frac{AM}{OA}=\frac{R\sqrt{3}}{R}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{AOM}={60}^{\circ }$

Mà hai tiếp tuyến AM và BM cắt nhau tại M nên ta có OM là phân giác của $\widehat{AOB}$

Vậy $\widehat{AOB} = 2\widehat{AOM}= 2.{60}^o = {120}^o$

Đáp án A

Vẽ AH $\perp$ BD (H $\in$ BD)

Tứ giác ABCD có OA = OC = R, OB = OD = R nên là hình bình hành

Mà AC = BD = 2R do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật, suy ra $S_{ABCD} = AB.AD$

$∆$ABD có $\hat{A} = {90}^o$, AH $\perp$ DB nên AB.AD = AH.DB

Vì AH $\le$ AO, DB = 2R nên $S_{ABCD} \le 2R^2$ (không đổi).

Dấu “=” xảy ra $\iff$ H $\equiv$ O $\iff$ AC $\perp$ BD

Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất

Đáp án D

Vì $\widehat{COD}={90}^{\circ }$ suy ra tam giác COD cân tại O nên $CD = R\sqrt{2}$

Gọi H là trung điểm của CD suy ra OH $\perp$ CD (định lý)

Vì $∆$HOM vuông tại H, $OH =\frac{1}{2}CD =\frac{\sqrt{2}}{2}R$, OM = 2R

Trong tam giác vuông OMH ta có:

$$\begin{gathered} M{H}^2 = O{M}^2 – O{H}^2 = 4R^2 - \frac{R^2}{2}=\frac{7R^2}{2} \\ \Rightarrow MH = \frac{\sqrt{14}}{2}R \end{gathered}$$

Suy ra $MD = MH – AH =\frac{R\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{7}-1\right)$;

$MC =\frac{R\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{7}+1\right)$

Đáp án C

Vẽ tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại H, K. Ta có

ED $\perp$ HK, ED $\perp$ BC $\Rightarrow$ HK // BC

Gọi N là tiếp điểm của đường tròn (O) tiếp xúc với AC

OK, OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD (tính chất trung tuyến) $\Rightarrow \widehat{KOC} = {90}^o$

+ Xét $∆$OEK và $∆$CDO có $\widehat{OEC}=\widehat{CDO}(= {90}^o), \widehat{OKE}=\widehat{COD}$ (cùng phụ với $\widehat{EOK}$). Do đó $∆$OEK $\backsim$ $∆$CDO $\Rightarrow \frac{EK}{OD}=\frac{OE}{CD}$ hay $\frac{EK}{r}=\frac{r}{CD}$

Tương tự cũng có $\frac{HE}{r}=\frac{r}{BD}$. Do vậy $\frac{EK}{HE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow \frac{EK}{EK+HE}=\frac{BD}{BD+CD}$ hay $\frac{EK}{HK}=\frac{BD}{BC}$(1)

+ Trong $∆$ABM có HE // BM, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét trong tam giác ta có: $\frac{HE}{BM}=\frac{AE}{AM}$. Tương tự có $\frac{EK}{CM}=\frac{AE}{AM}$

Do đó: $\frac{HE}{BM}=\frac{EK}{CM}\Rightarrow \frac{EK}{CM}=\frac{EK+HE}{CM+BM}$ hay $\frac{EK}{CM}=\frac{HK}{BC}\Rightarrow \frac{EK}{HK}=\frac{CM}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) cho ta BD = CM

Đáp án D

Theo đề ra có A, O, I thẳng hàng (vì O, I cùng nằm trên tia phân giác góc A)

+ Gọi M, N là tiếp điển của (O); (I) với AB, ta có OM // IN nên $\frac{AO}{AI}=\frac{OM}{IN}$ (hệ quả của định lý Ta-lét)

Mà OM = OE, IN – IF nên ta có $\frac{AO}{AI}=\frac{OE}{IF}$

Mặt khác ED $\perp$ BC, IF $\perp$ BC $\Rightarrow$ OD // IF $\Rightarrow \widehat{AOE}=\widehat{AIF}$

+ Xét $∆$OAE và $∆$IAF có $\frac{AO}{AI}=\frac{OE}{IF}$; $\widehat{AOE}=\widehat{AIF}$ do đó $∆$OAE $\backsim$ $∆$IAF

$\Rightarrow \widehat{OAE}=\widehat{IAF}$

Vậy A, E, F thẳng hàng

Đáp án A

+ Vì đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh tại D, E, F nên suy ra AE = AF, BE = BD, CD = CF

+ Dựng AK // BD (K $\in$ DF) ta có: $\frac{MN}{AK}=\frac{MD}{DA}, \frac{EM}{BD}=\frac{AM}{AD}$

Ta cần chứng minh: $\frac{MD}{DA}.AK=\frac{AM}{AD}\iff \frac{MD}{AM}=\frac{BD}{AK}$

Nhưng AK = AF = AE, BD = BE nên ta cần chứng minh $\frac{MD}{AM}=\frac{BE}{AE}$(điều này là hiển nhiên theo định lý Ta-lét)

Đáp án B

AM, AN là các tiếp tuyến của đường tròn (O), gọi H là giao điểm của AO và MN

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AM = AN; OM = ON nên AO là đường trung trực của đoạn MN

Suy ra AO $\perp$ MN

Ta có tam giác AHE đồng dạng với tam giác ADO (vì $\widehat{AHE}=\widehat{ADO} = {90}^o$; $\widehat{DAO}$ chung) nên AE. AD = AH. AO (1)

Cũng theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AMO ta có: $AH. AO = A{M}^2$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE. AD = A{M}^2$

Đáp án C

Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), suy ra $\widehat{ACD} = {90}^o$ (vì tam giác ACD có ba đỉnh thuộc đường tròn và AD là đường kính)

Xét $∆$HBA và $∆$CDA có: $\widehat{AHB}=\widehat{ACD} (= {90}^o)$; $\widehat{HBA}=\widehat{CDA}$ (góc nội tiếp cùng chắn)

Do đó $∆HBA \backsim ∆CDA$$\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AB. AC = AD. AH$

Mà AD = 2R, do đó AB. AC = 2R. AH