b) Cho A=122+132+⋯⋅⋅+120122+120132. Chứng tỏ A<1

b) A=122+132+⋯⋅⋅+120122+120132 Đặt B=11.2+12.3+…⁢….+12012.2013 Ta có vì 2 > 1 nên 2.2 > 1.2 Suy ra 122=12.2<11.2 Tương tự: 132=13.3<12.3 …. 120122=12012.2012<12011.2012 120132=12013.2013<12012.2013 Do đó 122+132+⋯⋅⋅+120122+120132<11.2+12.3+…⁢….+12011.2012+12012.2013 Suy ra A < B Mà B=11.2+12.3+…⁢….+12012.2013 =2-11.2+3-22.3+…+2012-20112011.2012+2013-20122012.2013 =21.2-11.2+32.3-22.3+…+20122011.2012-20112011.2012+20132012.2013-20122012.2013 =1-12+12-13+…+12012-12013 =1-12013<1 Do đó B < 1 Nên A < B < 1 Vậy A < 1.

Câu hỏi:

17/07/2024 117

b) Cho $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \cdot \cdot + \frac{1}{2012^{2}} + \frac{1}{2013^{2}}$ . Chứng tỏ A<1

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \cdot \cdot + \frac{1}{2012^{2}} + \frac{1}{2013^{2}}$

Đặt B $= \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots \dots . + \frac{1}{2012.2013}$

Ta có vì 2 > 1 nên 2.2 > 1.2

Suy ra $\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{2.2} < \frac{1}{1.2}$

Tương tự: $\frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{3.3} < \frac{1}{2.3}$

….

$\frac{1}{2012^{2}} = \frac{1}{2012.2012} < \frac{1}{2011.2012}$

$\frac{1}{2013^{2}} = \frac{1}{2013.2013} < \frac{1}{2012.2013}$

Do đó $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \cdot \cdot + \frac{1}{2012^{2}} + \frac{1}{2013^{2}}$ $< \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots \dots . +$ $\frac{1}{2011.2012} + \frac{1}{2012.2013}$

Suy ra A < B

Mà B $= \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots \dots . + \frac{1}{2012.2013}$

$= \frac{2 - 1}{1.2} + \frac{3 - 2}{2.3} + \dots$ $+ \frac{2012 - 2011}{2011.2012} + \frac{2013 - 2012}{2012.2013}$

$= \frac{2}{1.2} - \frac{1}{1.2} + \frac{3}{2.3} - \frac{2}{2.3} +$ $\dots + \frac{2012}{2011.2012} - \frac{2011}{2011.2012} +$ $\frac{2013}{2012.2013} - \frac{2012}{2012.2013}$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2012} - \frac{1}{2013}$

$= 1 - \frac{1}{2013} < 1$

Do đó B < 1

Nên A < B < 1

Vậy A < 1.

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tính:

a) F $= \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{108} + \dots + \frac{1}{990}$

Xem đáp án » 20/08/2022 349

Câu 2:

Cho hình vẽ. Em hãy khoanh tròn câu đúng

Xem đáp án » 20/08/2022 194

Câu 3:

Điểm A không thuộc đường thẳng d được kí hiệu là:

Xem đáp án » 20/08/2022 134

Câu 4:

Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta phân số:

Xem đáp án » 20/08/2022 126

Câu 5:

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì:

Xem đáp án » 20/08/2022 120

Câu 6:

c) $\frac{7}{19} . \frac{8}{11} + \frac{7}{19} . \frac{3}{11} + \frac{12}{19}$

Xem đáp án » 20/08/2022 116

Câu 7:

b) $\frac{x}{9} = \frac{- 1}{3} + \frac{1}{9}$

Xem đáp án » 20/08/2022 116

Câu 8:

b) So sánh AM và MB.

Xem đáp án » 20/08/2022 113

Câu 9:

Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3}{7} + \frac{- 1}{5} + \frac{- 3}{7}$

Xem đáp án » 20/08/2022 112

Câu 10:

c) $\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x = \frac{15}{12}$

Xem đáp án » 20/08/2022 112

Câu 11:

Số đối của phân số $\frac{3}{5}$ là:

Xem đáp án » 20/08/2022 109

Câu 12:

Tìm x, biết:

a) $x + \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$

Xem đáp án » 20/08/2022 109

Câu 13:

Nếu $\frac{x}{5} = \frac{3}{15}$ thì x bằng:

Xem đáp án » 20/08/2022 108

Câu 14:

b) $\frac{6}{7} + \frac{5}{8} : 5 - \frac{3}{16} . {(- 2)}^{2}$

Xem đáp án » 20/08/2022 105

Câu 15:

Phân số $\frac{11}{5}$ viết dưới dạng hỗn số là:

Xem đáp án » 20/08/2022 104

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Ôn tập Số Nguyên cực hay có lời giải

27 đề 10801 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kỳ I

28 đề 9568 lượt thi Thi thử
Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 1: Tính chất chia hết của số tự nhiên có đáp án

19 đề 9237 lượt thi Thi thử
Giải SBT Toán 6 Chương 1: Số tự nhiên - Bộ Cánh diều

15 đề 8197 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 6 có đáp án (Mới nhất)

15 đề 8070 lượt thi Thi thử
Giải SGK Toán 6 Chương 1: Số tự nhiên - Bộ Chân trời sáng tạo

16 đề 7344 lượt thi Thi thử
Giải SGK Toán 6 Chương 1: Số tự nhiên - Bộ Cánh diều

15 đề 6357 lượt thi Thi thử
Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 1: So sánh phân số có đáp án

8 đề 6032 lượt thi Thi thử
Giải SGK Toán 6 Chương 5. Phân số và số thập phân - Bộ Cánh diều

13 đề 5864 lượt thi Thi thử
Giải SGK Toán 6 Chương 3: Hình học trực quan - Bộ Cánh diều

10 đề 5695 lượt thi Thi thử