Phép nhân phân số có những tính chất nào?

1. Phép nhân phân số

a) Quy tắc nhân hai phân số

- Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$ với b ≠ 0 và d ≠ 0.

Ví dụ 1. $\frac{-1}{3}.\frac{5}{9}=\frac{\left(-1\right).5}{3.9}=\frac{-5}{27}.$

- Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc nhân một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu của phân số đó:

$m.\frac{a}{b}=\frac{m.a}{b};\frac{a}{b}.n=\frac{a.n}{b}$ với b ≠ 0.

Ví dụ 2.

a) $(-5).\frac{5}{11}=\frac{\left(-5\right).5}{11}=\frac{-25}{11}.$

b) $\frac{-7}{3}.(-6)=\frac{\left(-7\right).\left(-6\right)}{3}=\frac{\left(-7\right).\left(-2\right).3}{3}=\frac{\left(-7\right).\left(-2\right)}{1}=14.$

b) Tính chất của phép nhân phân số

- Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{a}{b}$;

- Tính chất kết hợp: $\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{p}{q}\right)$;

- Nhân với số 1” $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$;

- Nhân với số 0: $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}+\frac{a}{b}.\frac{p}{q}$;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: $\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}-\frac{p}{q}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}-\frac{a}{b}.\frac{p}{q}$.

Ví dụ 3. Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{2}{11}.\frac{5}{7}+\frac{6}{11}$

b) $\frac{3}{13}.\frac{6}{11}+\frac{3}{13}.\frac{9}{11}-\frac{3}{13}.\frac{4}{11}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{2}{11}.\frac{5}{7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{2.5}{11.7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{5.2}{11.7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{5}{11}.\frac{2}{7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\left(\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\right)+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{7}{7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.1+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}+\frac{6}{11}$

$=\frac{11}{11}$

= 1.

b) $\frac{3}{13}.\frac{6}{11}+\frac{3}{13}.\frac{9}{11}-\frac{3}{13}.\frac{4}{11}$

$=\frac{3}{13}.\left(\frac{6}{11}+\frac{9}{11}-\frac{4}{11}\right)$

$=\frac{3}{13}.\frac{6+9-4}{11}$

$=\frac{3}{13}.\frac{11}{11}$

$=\frac{3}{13}.1$

$=\frac{3}{13}.$

2. Phép chia phân số

a) Phân số nghịch đảo

Phân số $\frac{b}{a}$ được gọi là phân số nghịch đảo của phân số $\frac{a}{b}$ với a ≠ 0 và b ≠ 0.

Chú ý: Tích của một phân số với phân số nghịch đảo của nó thì bằng 1.

Ví dụ 4.

a) Phân số nghịch đảo của phân số $\frac{11}{7}$ là $\frac{7}{11}.$ Khi đó $\frac{11}{7}.\frac{7}{11}=1.$  

b) Phân số nghịch đảo của phân số $\frac{-1}{3}$ là $\frac{3}{-1}=\frac{-3}{1}=-3.$ Khi đó $\frac{-1}{3}.\left(-3\right)=1.$ 

b) Phép chia phân số

Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$ với b, c, d khác 0.

Ví dụ 5. $\frac{-5}{6}:\frac{2}{7}=\frac{-5}{6}.\frac{7}{2}=\frac{\left(-5\right).7}{6.2}=\frac{-35}{12}.$

3. Thứ tự thực hiện phép tính với phân số:

a) Thứ tự thực hiện phép tính với phân số trong biểu thức không chứa dấu ngoặc:

Đối với biểu thức không chứa dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự:

Luỹ thừa → Phép nhân và phép chia → Phép cộng và phép trừ.

b) Thứ tự thực hiện phép tính với phân số trong biểu thức có chứa dấu ngoặc:

Đối với biểu thức có chứa dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự:

Dấu ngoặc () → Dấu ngoặc [] → Dấu ngoặc {}.

Ví dụ 6. Tính:

a) $\frac{10}{21}-\frac{3}{2^3}.\frac{4}{15}$

b) $\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right).\left(\frac{5}{7}+\frac{5}{14}\right)$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{10}{21}-\frac{3}{2^3}.\frac{4}{15}$

$=\frac{10}{21}-\frac{3}{8}.\frac{4}{15}$

$=\frac{10}{21}-\frac{3.4}{8.15}$

$=\frac{10}{21}-\frac{3.4}{\mathrm{2.4.3.5}}$

$=\frac{10}{21}-\frac{1}{2.5}$

$=\frac{10}{21}-\frac{1}{10}$

$=\frac{10.10}{21.10}-\frac{1.21}{10.21}$

$=\frac{100}{210}-\frac{21}{210}$

$=\frac{100-21}{210}$

$=\frac{79}{210}$

b) $\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right).\left(\frac{5}{7}+\frac{5}{14}\right)$

$=\left(\frac{2.4}{3.4}+\frac{3.3}{4.3}\right).\left(\frac{5.2}{7.2}+\frac{5}{14}\right)$

$=\left(\frac{8}{12}+\frac{9}{12}\right).\left(\frac{10}{14}+\frac{5}{14}\right)$

$=\frac{17}{12}.\frac{15}{14}$

$=\frac{17.15}{12.14}$

$=\frac{\mathrm{17.3.5}}{\mathrm{3.4.14}}$

$=\frac{17.5}{4.14}$

$=\frac{75}{56}$