Cho $\Delta$ABC cân tại A ($A$ nhọn ). Tia phân giác góc của A cắt BC tại I.

 a) Chứng minh AI $\perp$ BC;

 b) Gọi D là trung điểm của AC, M là giao điểm của BD với AI. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tâm giác ABC;

 c) Biết AB = AC = 5cm; BC = 6 cm. Tính AM.

Vẽ hình đúng và ghi GT, KL đúng. (0,5 điểm)

a) Xét tam giác AIB và tam giác AIC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AI: cạnh chung

 $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (AI là tia phân giác của góc A)

Do đó: $\Delta$ AIB = $\Delta$ AIC (cgc) $\Rightarrow {\widehat{I}}_1={\widehat{I}}_2$    (Hai góc tương ứng)

 Mà ${\widehat{I}}_1+{\widehat{I}}_2=180°$  (Hai góc kề bù) ${\widehat{I}}_1= {\widehat{I}}_2 ={90}^0 \Rightarrow AI \perp BC$  . (1 điểm)

b) Ta có DA = DC (D là trung điểm của AC)

Nên BD là đường trung tuyến ứng với cạnh AC.

Trong tam giác cân ABC (cân tại A), AI là đường phân giác ứng với đáy BC

Suy ra AI cũng là đường trung tuyến

Do đó M là giao của hai đường trung tuyến AI và BD nên M là trọng tâm của tam giác ABC (Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác) (1 điểm)

c, 

Trong tam giác cân ABC (cân tại A), AI là phân giác cũng là trung tuyến

Nên I là trung điểm của BC

 IB = IC = $\frac{1}{2}$  BC

 IB = IC = $\frac{1}{2}.6$   = 3 (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIB, ta có:

AI² = AB² – IB² = 5² – 3² = 16

 AI = 4 (cm)

M là trọng tâm của tam giác ABC =>   AM = $\frac{2}{3}$ AI =$\frac{2}{3}$ . 4 =$\frac{8}{3}$  (cm)