Cho ∆ABC có AB < AC. Lấy E ∈ AC sao cho AE = AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = EC. Kẻ AH ⊥ BE tại H, AH cắt DC tại K. Chọn khẳng định đúng.

Đáp án đúng là: D

Vì AB = AE (giả thiết).

Nên ∆ABE cân tại A.

Suy ra \[\widehat {ABE} = \widehat {AEB}\].

∆ABE có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {BAC}\]   (1).

Vì ba điểm A, B, D thẳng hàng và B nằm giữa A, D nên AD = AB + BD.

Vì ba điểm A, E, C thẳng hàng và E nằm giữa A, C nên AC = AE + EC.

Mà AB = AE và BD = EC (giả thiết).

Do đó AD = AC.

Suy ra ∆ADC cân tại A.

Khi đó ta có \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\].

Do đó đáp án A đúng.

∆ADC có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ADC} + \widehat {ACD} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAC}\]   (2).

Từ (1), (2), ta suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {ABE}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó BE // DC.

Lại có AH ⊥ BE (giả thiết).

Suy ra AH ⊥ DC hay AK ⊥ DC (*).

Do đó đáp án B đúng.

Xét ∆ADK và ∆ACK, có:

AK là cạnh chung.

AD = AC (chứng minh trên).

\[\widehat {AKD} = \widehat {AKC} = 90^\circ \] (chứng minh trên).

Do đó ∆ADK = ∆ACK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra DK = CK (cặp cạnh tương ứng).

Do đó K là trung điểm DC (**).

Từ (*), (**), ta suy ra AK là đường trung trực của đoạn thẳng DC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.