Cho dãy số \[({u_n})\]xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},\left( {n \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\) Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\]là dãy giảm tới 1 khi \[n \to + \infty \]
B.Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\]là dãy tăng tới 1 khi \[n \to + \infty \]
C.Không tồn tại giới hạn của dãy \[\left( {{u_n}} \right)\]
D.Cả 3 đáp án trên đều sai
Giải bởi Vietjack
\[{u_2} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\]
\[{u_3} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{2} = \frac{5}{4} = \frac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\]
\[{u_4} = \frac{{\frac{5}{4} + 1}}{2} = \frac{9}{8} = \frac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\]
Chứng minh bằng quy nạp:\[{u_{n + 1}} = \frac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,( * )\]
* Với\[n = 1:{u_2} = \frac{{{u_1} + 1}}{2} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\]: (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với\[n = k \ge 1\] tức là\[{u_k} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\] ta chứng minh (*) đúng với\[n = k + 1\]tức là cần chứng minh\[{u_{k + 1}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\]
Ta có :
\[{u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\]
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy \[({u_n})\]là:
\[{u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,( * )\]
Từ (*) ta có\[{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{{{2^n}}} - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\]là dãy giảm và
\[\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow \]là dãy giảm tới 1 khi\[n \to + \infty \]
Đáp án cần chọn là: A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho \[{u_n} = \frac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}\]. Khi đó \[lim\,{u_n}\]bằng?
Giới hạn \[\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}\] bằng?
Tính giới hạn \[\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\].
Giá trị của \[B = {\rm{lim}}\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }}\] bằng:
Giả sử \[\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\] và c là một hằng số. Chọn mệnh đề sai:
Cho \[{u_n} = \frac{{1 - 4n}}{{5n}}\]. Khi đó \[lim\,{u_n}\]bằng?
Cho hai dãy số \[\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\]thỏa mãn \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\] với mọi n và \[\lim {u_n} = 0\] thì:
Cho dãy số \[({u_n})\]với \[{u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}\]
Khi đó \[lim\,{u_n}\] bằng?
Biết \[\lim {u_n} = 3\]. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
![Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng a và có diện tích \[{S_1}\]. Nối bốn trung điểm \[{A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\;\] ta được hình vuông thứ hai có diện tích \[{S_2}\]. Tiếp tục (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1653298186/1653298389-image2.png)
Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng a và có diện tích \[{S_1}\]. Nối bốn trung điểm \[{A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\;\] ta được hình vuông thứ hai có diện tích \[{S_2}\]. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông \[{A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\] có diện tích \[{S_3}, \ldots \;\] Tính tổng \[{S_1} + {S_2} + \ldots \;\] bằng
