Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác \[{A_1}{B_1}{C_1}\] có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác \[{A_2}{B_2}{C_2}\] có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \[{A_1}{B_1}{C_1}\],…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \[{A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}} \ldots .{\rm{ }}Goi\;P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\] là chu vi của các tam giác \[ABC,{A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},...,{A_n}{B_n}{C_n},...\] Tìm tổng \[P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\]
A.9a
B.6a
C.\[ + \infty \]
D.3a
Giải bởi Vietjack
Bước 1:
Gọi \[{a_n}\] là cạnh của tam giác \[{A_n}{B_n}{C_n}\] với n nguyên dương.
Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì \[{A_n}{B_n}{C_n}\] bằng\[{a_n} = \frac{a}{{{2^n}}}\] ới mọi số nguyên dương n (*)
Vì\[{A_1},{B_1},{C_1}\] là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên \[{a_1} = \frac{a}{2}\]
Cạnh của tam giác\[{A_1}{B_1}{C_1}\] có cạnh là\[\frac{a}{2} = \frac{a}{{{2^1}}}\]
Giả sử (*) đúng với \[n = k\]
Tức là cạnh của tam giác\[{A_k}{B_k}{C_k}\] là\[{a_k} = \frac{a}{{{2^k}}}\]
Ta có\[{A_{k + 1}}{B_{k + 1}}{C_{k + 1}}\] có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác\[{A_k}{B_k}{C_k}\] nên có cạnh là\[{a_{k + 1}} = \frac{{{a_k}}}{2} = \frac{1}{2}.\frac{a}{{{2^k}}} = \frac{a}{{{2^{k + 1}}}}\]
=>(*) đúng với \[n = k + 1\]
=>(*) đúng với mọi số nguyên dương n.
=>Chu vi của tam giác\[{A_n}{B_n}{C_n}\] như giả thiết là\[{P_n} = \frac{{3a}}{{{2^n}}}\]
Bước 2:
Như vậy\[P = 3a;{P_1} = \frac{{3a}}{2};{P_2} = \frac{{3a}}{{{2^2}}};...;{P_n} = \frac{{3a}}{{{2^n}}};...\]
Dãy số\[\left( {{P_n}} \right)\] gồm\[P,{P_1},{P_2},...\] là cấp số nhân với số hạng đầu là\[P = 3a\] công bội\[q = \frac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow P + {P_1} + {P_2} + ... = \frac{{3a}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 6a\]
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho \[{u_n} = \frac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}\]. Khi đó \[lim\,{u_n}\]bằng?
Giới hạn \[\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}\] bằng?
Giả sử \[\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\] và c là một hằng số. Chọn mệnh đề sai:
Tính giới hạn \[\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\].
Cho \[{u_n} = \frac{{1 - 4n}}{{5n}}\]. Khi đó \[lim\,{u_n}\]bằng?
Giá trị của \[B = {\rm{lim}}\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }}\] bằng:
Cho hai dãy số \[\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\]thỏa mãn \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\] với mọi n và \[\lim {u_n} = 0\] thì:
Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[\left( {{u_n}} \right)\;\]có công bội \[q\left( {\left| q \right| < 1} \right)\]. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Biết \[\lim {u_n} = 3\]. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
