Cho tứ diện ABCD có AB=a, CD=b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD, giả sử AB⊥CD. Mặt phẳng (α) qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (α) biết \[IM = \frac{1}{3}IJ\].
A.\(ab\)
B. \[\frac{{ab}}{9}\]
C. \(2ab\)
C. \[\frac{{2ab}}{9}\]
Giải bởi Vietjack
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha )//CD}\\{CD \subset (ICD)}\\{M \in (\alpha ) \cap (ICD)}\end{array}} \right.\) ⇒ giao tuyến của (α) với (ICD) là đường thẳng qua M và
song song với CDcắt IC tại L và ID tại N.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha )//AB}\\{AB \subset (JAB)}\\{M \in (\alpha ) \cap (JAB)}\end{array}} \right.\) ⇒ giao tuyến của (α) với (JAB) là đường thẳng qua M và song song
với AB cắt JA tại P và JB tại Q.
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha )//AB}\\{AB \subset (ABC)}\\{L \in (\alpha ) \cap (ABC)}\end{array}} \right. \Rightarrow EF//AB\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tương tự \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha )//AB}\\{AB \subset (ABD)}\\{N \in (\alpha ) \cap (ABD)}\end{array}} \right. \Rightarrow HG//AB\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow EF//HG//AB\,\,\,\left( 3 \right)\]
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha )//CD}\\{CD \subset (ACD)}\\{P \in (\alpha ) \cap (ACD)}\end{array}} \right. \Rightarrow FG//CD\,\,\,\left( 4 \right)\)
Tương tự\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha )//CD}\\{CD \subset (BCD)}\\{Q \in (\alpha ) \cap (BCD)}\end{array}} \right. \Rightarrow EH//CD\,\,\,\left( 5 \right)\)
Từ (4) và (5) \[ \Rightarrow FG//EH//CD\,\,\,\,\left( 6 \right)\]
Từ (3) và (6), suy ra EFGH là hình bình hành. Mà AB⊥CD nên EFGH là hình chữ nhật.
Xét tam giác ICD có:\[LN//CD \Rightarrow \frac{{LN}}{{CD}} = \frac{{IN}}{{ID}}\]
Xét tam giác ICD có:\[MN//JD \Rightarrow \frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IM}}{{IJ}}\]
Do đó\[\frac{{LN}}{{CD}} = \frac{{IM}}{{IJ}} = \frac{1}{3} \Rightarrow LN = \frac{1}{3}CD = \frac{b}{3}\]
Tương tự\[\frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{{JM}}{{JI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow PQ = \frac{2}{3}AB = \frac{{2a}}{3}\]
Vậy\[{S_{EFGH}} = PQ.LN = \frac{{2ab}}{9}\]
Đáp án cần chọn là: D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi điểm M là điểm thuộc cạnh SD sao cho SM=\(\frac{2}{3}\)SD (minh họa như hình vẽ). Mặt phẳng chứa AM và song song với BD cắt cạnh SC tại K. Tỷ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A, \(SA = a\sqrt 3 ,SB = 2a\). Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM=2MD. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với (SAB). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh aa. Các điểm M,N,P theo thứ tự đó thuộc các cạnh BB′,C′D′,DA sao cho \[BM = C\prime N = DP = \frac{a}{3}\]. Tìm diện tích thiết diện S của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi A′ là điểm trên SA sao cho \[\overrightarrow {{\rm{AA}}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A'S} \]. Mặt phẳng (α) qua A′ cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B′, C′, D′. Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SD}}{{SD'}} - \frac{{SC}}{{SC'}}\).
Cho tứ diện ABCD có AB=6, CD=8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB . Gọi M là một điểm trên cạnh CD;(α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC. Thiết diện của mp(α) với hình chóp là:
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, gọi M là trung điểm CD, (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với B′D và CD′. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì?
Cho hình chóp S.ABCD, G là điểm nằm trong tam giác SCD. E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (EFG) là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, tam giác SBD cân tại S. Gọi M là điểm tùy ý trên AO. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA,BD cắt SO,SB,AB tại N,P,Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của DO, (α) là mặt phẳng đi qua M và song song với AC và SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3a, SA=SD=3a, SB=SC=\(3a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD, P là điểm thuộc cạnh AB sao cho AP=2a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M và P lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho \[MA = PC = x(0 < x < \frac{a}{2})\] . Mặt phẳng (α) đi qua MP song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện là hình gì?
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Trên các cạnh AA′, BB′, CC′ lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \[\frac{{A'M}}{{{\rm{AA}}'}} = \frac{1}{3},\frac{{B'N}}{{BB'}} = \frac{2}{3},\frac{{C'P}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\]. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD′ tại Q. Tính tỉ số \[\frac{{D'Q}}{{{\rm{DD}}'}}\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \) Gọi M là trung điểm của SD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ABM).
