Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a.. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (SAC) góc 300. Tính diện tích tam giác ABC.
A.\[{S_{{\rm{\Delta }}{\kern 1pt} ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\]
B. \[{S_{{\rm{\Delta }}{\kern 1pt} ABC}} = {a^2}\sqrt 2 .\]
C. \[{S_{{\rm{\Delta }}{\kern 1pt} ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.\]
D. \[{S_{{\rm{\Delta }}{\kern 1pt} ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.\]
Giải bởi Vietjack
Gọi I là trung điểm của AB, tam giác SAB đều ⇒\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{SI \bot AB}\end{array}} \right.\)
Mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right);\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SI \bot AC}\\{AB \bot AC}\end{array} \Rightarrow AC \bot (SAB)} \right.\]
Kẻ BK vuông góc với SA tại K, vì \[AC \bot \left( {SAB} \right)\] nên\[AC \bot BK \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)\] và\[BK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Do đó, góc giữa BC và\[mp\,\,\left( {SAC} \right)\] là \[\widehat {BCK}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {BCK} = {30^0}.\]
Khi đó \[BC = \frac{{BK}}{{\sin \widehat {BCK}}} = a\sqrt 3 \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 .\]
Vậy diện tích tam giác ABC là\[{S_{{\rm{\Delta }}{\kern 1pt} ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\]
Đáp án cần chọn là: A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian cho điểm A và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào đưới đây đúng ?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng \({30^0}\). Tính diện tích hình chữ nhật ABCD..
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật ?
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tứ diện SABC có SBC và ABC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác SBC đều, tam giác ABC vuông tại A. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AB. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy lớn AB; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi Q là điểm trên cạnh SA và \[Q \ne A,\;Q \ne S\]; M là điểm trên đoạn AD và \[M \ne A\]. Mặt phẳng (α) qua QM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Thiết diện tạo bởi \[\left( \alpha \right)\;\]với hình chóp đã cho là:
Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2a,AD=DC=a; cạnh bên SA=a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) qua SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho hình chóp đều S.ABC. Mặt phẳng (α) qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là:
Cho hình chóp S.ABC có \[SA \bot (ABC),\;\] tam giác ABC vuông tại B, kết luận nào sau đây sai?
Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ . Xét tất cả các hình bình hành có đỉnh là đỉnh của hình hộp đó. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành mà mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) ?
