Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Gọi H là trung điểm AB. Biết rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB=SH=a. Tính cosin của góc α tọa bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
A.\[\cos \alpha = \frac{1}{3}.\]
B. \[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{3}.\]
C. \[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]
D. \[\cos \alpha = \frac{2}{3}.\]
Giải bởi Vietjack
Ta có \[SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot CH\](1)
Tam giác ABC cân tại C nên \[CH \bot AB\](2)
Từ (1) và (2), suy ra\[CH \bot \left( {SAB} \right)\]
Gọi I là trung điểm \[AC \Rightarrow \,\,HI//BC\mathop \to \limits^{BC{\kern 1pt} \bot {\kern 1pt} {\kern 1pt} AC} HI \bot AC\](3)
Mặt khác\[AC \bot SH\] (do \[SH \bot \left( {ABC} \right)\])(4)
Từ (3) và (4), suy ra \[AC \bot \left( {SHI} \right)\]
Kẻ\[HK \bot SI\,\left( {K \in SI} \right)\](5)
Từ \[AC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AC \bot HK\](6)
Từ (5) và (6), suy ra \[HK \bot \left( {SAC} \right)\]
Vì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot (SAC)}\\{HC \bot (SAB)}\end{array}} \right.\) nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc giữa hai đường thẳng HK và HC
Ta có \[HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot CK \Rightarrow {\rm{\Delta }}CHK\] vuông tại KDo đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) là\[\widehat {CHK}\]Có\[CH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\]
\[\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \frac{a}{3}\]
Do đó\[\cos \widehat {CHK} = \frac{{HK}}{{CH}} = \frac{{\frac{a}{3}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{2}{3}.\]Đáp án cần chọn là: D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng aa. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc \[\varphi \] giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA=x và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 600.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC. Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \[A,\widehat {ABC} = {60^0}\], tam giác SBC là tam giác đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính độ dài đường cao SHcủa khối chóp.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB=BC=2a. Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), \(SA = \sqrt 3 a\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, AB=2a, AD=CD=a. Cạnh bên SA=a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, các cạnh \[SA = SB = a,\;SD = a\sqrt 2 \]. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng \({90^0}\). Độ dài đoạn thẳng BD
Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC. là tam giác vuông tại B, BC=a. Cạnh bên SA=a vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \[{45^0}\]. Độ dài AC bằng
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) cạnh bên AA′=a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (C′BD) bằng bao nhiêu độ?
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh aa. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3 \) và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và \(SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=AC=a. Hình chiếu vuông góc HH của SS trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và \(SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
