Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn \[{5^x} + {25^y} + {125^z} = 2020\]. Giá trị nhỏ nhất của biếu thức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là
A.\[\frac{1}{3}{\log _5}2020.\]
B. \[\frac{1}{6}{\log _5}2018.\]
C. \[\frac{1}{6}{\log _5}2020.\]
D. \[\frac{1}{2}{\log _5}2018.\]
Giải bởi Vietjack
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {5^x}}\\{b = {5^{2y}}}\\{c = {5^{3z}}}\end{array}} \right.\) với\[x,\,\,y,\,\,z \ge 0\] thì\[a,\,\,b,\,\,c \ge 1\]
Theo bài ra ta có\[a + b + c = 2020 \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 2018\]
Ta có:
\[(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow (ab - a - b + 1)(c - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow abc + (a + b + c) - (ab + bc + ca) - 1 \ge 0(1)\]
\[(a - 2018)(b - 2018)(c - 2018) \le 0\]
\[ \Leftrightarrow (ab - 2018(a + b) + 20182)(c - 2018) \le 0\]
\[ \Leftrightarrow abc + {2018^2}(a + b + c) - 2018(ab + bc + ca) - {2018^3} \le 0(2)\]
Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:
\[2017abc + (2018 - {2018^2})(a + b + c) - 2018 + {2018^3} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2017abc + 2018(1 - 2018)(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2017abc - 2017.2018.(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018.2020 + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} + 2018({2018^2} - 2017.2020 - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} \ge 2018\]
\[ \Leftrightarrow {5^{x + 2y + 3z}} \ge 2018\]
\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge lo{g_5}2018\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]
\[ \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu tức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là\[\frac{1}{6}{\log _5}2018\]
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Biết rằng phương trình \[{2^{{x^2} - 1}} = {3^{x + 1}}\]có hai nghiệm là a và b. Khi đó a+b+ab có giá trị bằng
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình\[{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\]
Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]
Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]
Tìm giá trị m để phương trình \[{2^{|x - 1| + 1}} + {2^{|x - 1|}} + m = 0\] có nghiệm duy nhất
Tìm giá trị của a để phương trình \[{(2 + \sqrt 3 )^x} + (1 - a){(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0\;\]có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:\[{x_1} - {x_2} = lo{g_{2 + \sqrt 3 }}3\], ta có a thuộc khoảng:
Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng
Tìm nghiệm của phương trình \[{9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\]
Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \[{4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\;\]có 4 nghiệm phân biệt.
