Cho các số dương x,y thỏa mãn \[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7}\] có dạng \(\frac{a}{b}\). Tính a−b.
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn \[{x^3}\] theo y.
Ta có\[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2 - 2x - y - 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^3} + 2x + 2}}}}{{{2^{2x + y}}.2}} = \frac{{2x + y}}{{2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)}}}\\{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2}}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) = {2^{2x + y}}.\left( {2x + y} \right)\,\,\,\left( * \right)}\end{array}\]
Xét \[f\left( t \right) = {2^t}.t,\,\,t > 0\]ta có\[f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0;\,\,\forall t > 0\].Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Rightarrow {x^3} = y - 2\]Bước 2: Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P.
Khi đó
\[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{{y - 2}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y}{7} - \frac{2}{7} \ge 2\sqrt {\frac{7}{y}.\frac{y}{7}} - \frac{2}{7} = \frac{{12}}{7}\]
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{7}{y} = \frac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\]
\[{P_{\min }} = \frac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5},\,\,y = 7\]
Vậy\[a = 12,b = 7 = > a - b = 5\]
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Biết rằng phương trình \[{2^{{x^2} - 1}} = {3^{x + 1}}\]có hai nghiệm là a và b. Khi đó a+b+ab có giá trị bằng
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình\[{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\]
Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]
Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]
Tìm giá trị m để phương trình \[{2^{|x - 1| + 1}} + {2^{|x - 1|}} + m = 0\] có nghiệm duy nhất
Tìm giá trị của a để phương trình \[{(2 + \sqrt 3 )^x} + (1 - a){(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0\;\]có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:\[{x_1} - {x_2} = lo{g_{2 + \sqrt 3 }}3\], ta có a thuộc khoảng:
Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng
Tìm nghiệm của phương trình \[{9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\]
Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \[{4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\;\]có 4 nghiệm phân biệt.
