Giá trị của tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)dx\] là:
A.\[I = \frac{{32}}{{128}}\pi \]
B. \[I = \frac{{33}}{{128}}\pi \]
C. \[I = \frac{{31}}{{128}}\pi \]
D. \[I = \frac{{30}}{{128}}\pi \]
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\]
\[ = \left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\]
\[\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\]
\[ = \left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right) = 1 - \frac{5}{4}{\sin ^2}2x + \frac{3}{8}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^2}\]
\[ = 1 - \frac{5}{4}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{3}{8}.{\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2}\]
\[ = \frac{3}{8} + \frac{5}{8}\cos 4x + \frac{3}{{32}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right) = \frac{{15}}{{32}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{32}}{\cos ^2}4x\]
\[ = \frac{{15}}{{32}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{32}}.\frac{{1 + \cos 8x}}{2} = \frac{{33}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{64}}\cos 8x\]
Do đó\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{33}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{64}}\cos 8x} \right)dx\]
\[ = \frac{{33}}{{64}}x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \frac{7}{{64}}sin4x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \frac{3}{{512}}sin8x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. = = \frac{{33}}{{128}}\pi \]
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\] có giá trị bằng
Tích phân \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^5 \left| {{x^2} - 2x - 3} \right|dx\] có giá trị bằng:
Tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^3 x(x - 1)dx\] có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \[\left[ {1;4} \right]\;\]và \[f\left( 1 \right) = 2,f\left( 4 \right) = 10\]. Giá trị của \[I = \int\limits_1^4 {f\prime (x)dx} \] là
Cho hàm số \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x \left( {t + 1} \right)dt\]. Giá trị nhỏ nhất của F(x) trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\;\]là:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right].\]Chọn mệnh đề sai?
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right],\;\]có \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 5.\]. Tính \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x\].
Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right].\;\]Đặt \[g\left( x \right) = 1 + 2\mathop \smallint \limits_0^x f\left( t \right)dt\]. Biết \[g\left( x \right) \ge {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3}\] với mọi \[x \in \left[ {0;1} \right].\] Tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt[3]{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}}\,dx\]có giá trị lớn nhất bằng
Tìm hai số thực A,B sao cho \[f(x) = Asin\pi x + B\], biết rằng \[f\prime \left( 1 \right) = 2\;\] và \[\mathop \smallint \limits_0^2 f(x)dx = 4\].
Đặt \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x tdt\]. Khi đó F′(x) là hàm số nào dưới đây?
Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc \[a\left( t \right) = 6 - 3t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\] trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là:
Cho biết \[\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = - 2,\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx = 3,\mathop \smallint \limits_1^4 g\left( x \right)dx = 7\]. Chọn khẳng định sai?
Giá trị của tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^{2017\pi } \sqrt {1 - \cos 2x} dx\] là
Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\;\]và k là một số thực trên R. Cho các công thức:
a) \[\mathop \smallint \limits_a^a f\left( x \right)dx = 0\]
b) \[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)dx\]
c) \[\mathop \smallint \limits_a^b kf\left( x \right)dx = k\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx\]
Số công thức sai là:
Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}\] và \[g(x) = {x^3}\]. Chọn mệnh đề đúng:
