Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( x \right)\sin xdx = 20,\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5\]thì\[I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx\] bằng:
A.−30
B.−50
C.15
D.25
Giải bởi Vietjack
Xét tích phân\[I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx\]
Đặt\[t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi }\end{array}} \right.\) khi đó ta có
\[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( t \right)\cos \left( t \right)2tdt = \mathop \smallint \limits_0^\pi 2f\left( x \right)\cos x.xdx\]
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_0^\pi xf'\left( x \right)\sin xdx = 5\]
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = xsinx}\\{f\prime (x)dx = dv}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = (sinx + xcosx)du}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)
\[\begin{array}{l}\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5\\ \Leftrightarrow (xsinx.f(x))\left| {_0^\pi } \right. - \int\limits_0^\pi {[f(x)sinx + xf(x)cosx]dx = 5} \end{array}\]
\( \Leftrightarrow - \int\limits_0^\pi {f(x)sinxdx - \int\limits_0^\pi {xf(x)cosxdx = 5} } \)
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 20 - \frac{I}{2} = 5\\ \Leftrightarrow \frac{I}{2} = - 25\\ \Leftrightarrow I = - 50\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Biết tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b\] (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và thỏa mãn điều kiện \[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx\)A.I=2
Giả sử tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^4 x\ln {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}dx = a + \frac{b}{c}\ln 3.\]. Với phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :
Cho hàm số y=f(x)thỏa mãn hệ thức \[ \Rightarrow \smallint f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \smallint {\pi ^x}.\cos xdx\]. Hỏi y=f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3\]với\[a,b,c \in R\], tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng
Cho hàm số f(x) có \[f\left( 2 \right) = 0\;\] và \[f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;\]. Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {1;3} \right],\]thỏa mãn \[f(4 - x) = f(x),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\;\] và \[\mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = - 2\]. Giá trị \(2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx\) bằng
Cho f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 2 \right) = 1,\;\int\limits_0^1 {f(2x)dx = 2} \]. Tích phân \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)} dx\) bằng
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}\], giá trị của m bằng :
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\;\]thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\], \({\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 12 - 16\ln 2,\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = 4\ln 2 - 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \[x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\;\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:
