Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là \[\alpha \] . Tính \[cos\alpha \] biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.
A.\[2 - \sqrt 3 \]
B. \[2\sqrt 3 - 3\]
C. \[3 - 2\sqrt 3 \]
D. \[\sqrt 2 - 1\]
Giải bởi Vietjack
Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên\[CM \bot AB,DM \bot AB\]
Ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \cap (ABD) = AB}\\{CM \bot AB,CM \subset (ABC)}\\{DM \bot AB,DM \subset (ABD)}\end{array}} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CM;DM} \right)\)
Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{C{M^2} = A{C^2} - A{M^2}}\\{ \Rightarrow CM = \sqrt {A{C^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\end{array}\]
Tương tự \[DM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :
Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên \[IK = IM = IN,IK \bot AD\].
Xét tam giác AMI và AKI có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {AMI} = \widehat {AKI} = {{90}^0};}\\{AI\,chung;}\\{IM = IK\left( {cmt} \right);}\end{array}\]
Do đó \[{\rm{\Delta }}AMI = {\rm{\Delta }}AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)\[ \Rightarrow AK = AM = \frac{a}{2}\] (cạnh tương ứng).
Tương tự : \[{\rm{\Delta }}DNI = {\rm{\Delta }}DKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow DN = DK = AD - AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{a}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}}\\{ \Rightarrow DC = 2DN = 2.\frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}\end{array}\]
Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \widehat {CMD} = \frac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 - 3 > 0}\\{ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \widehat {CMD} = 2\sqrt 3 - 3}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh lần lượt là 2;2;1. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trên.
Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1 mặt cầu (S2) có bán kính R2 = 2R1. Tính tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và (S1).
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a, AA’ =\(a\sqrt 2 \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA′B′C′ là:
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)
