Điền biểu thức thích hợp vào chỗ chấm:

Cho biểu thức: $M=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$

Rút gọn M = …

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$. Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Ví dụ 1.

a) $\sqrt{3^2.5}=\sqrt{3^2}.\sqrt{5}=3\sqrt{5}$;

b) $\sqrt{18}=\sqrt{9.2}=\sqrt{3^2}.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.

Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có $\sqrt{A^2.B}=\left|A\right|\sqrt{B}$, tức là:

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài căn:

a) $\sqrt{9x{y}^2}$ với x ≥ 0, y < 0;

b) $\sqrt{20x^{2}y}$ với x ≥ 0, y ≥ 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{9x{y}^2}=\sqrt{{\left(3y\right)}^{2}x}=\left|3y\right|\sqrt{x}=-3y\sqrt{x}$ (với x ≥ 0, y < 0);

b) $\sqrt{20x^{2}y}=\sqrt{4x^2.5y}=\sqrt{{\left(2x\right)}^2.5y}$  

$=\left|2x\right|\sqrt{5y}=x\sqrt{5y}$ (với x ≥ 0, y ≥ 0).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$.

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong căn:

a) $5\sqrt{2}$;

b) $2a^2\sqrt{3a}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2}=\sqrt{25.2}=\sqrt{50}$;

b) $2a^2\sqrt{3a}=\sqrt{{\left(2a^2\right)}^2.3a}=\sqrt{4a^4.3a}=\sqrt{12a^5}$ với a ≥ 0.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để so sánh các căn bậc hai.

Ví dụ 3. So sánh $3\sqrt{5}$ và $\sqrt{18}$.

Lời giải:

Ta có: $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$.

Vì $\sqrt{45}>\sqrt{18}$ nên $3\sqrt{5}>\sqrt{18}$.

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Tổng quát: Với các biểu thức A, B mà A.  B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}$.

Ví dụ 4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) $\sqrt{\frac{3}{7}}$;

b) $\sqrt{\frac{11}{9a^3}}$ với a > 0

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{3}{7}}=\sqrt{\frac{3.7}{7.7}}=\frac{\sqrt{3.7}}{\sqrt{7^2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$;

b) Vì a > 0 nên 3a > 0. Do đó |3a| = 3a;

Vì a > 0 nên 9a3 > 0. Do đó $\left|9a^3\right|>9a^3.$

Khi đó,

$\sqrt{\frac{11}{9a^3}}=\sqrt{\frac{11.9a^3}{9a^3.9a^3}}=\frac{\sqrt{11a.9a^2}}{\sqrt{{\left(9a^3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{11a}.\sqrt{9a^2}}{\left|9a^3\right|}$

$=\frac{\left|3a\right|\sqrt{11a}}{\left|9a^3\right|}=\frac{3a\sqrt{11a}}{9a^3}=\frac{\sqrt{11a}}{3a^2}$.

4. Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu số là biến đổi để biểu thức đó mất căn thức ở mẫu số.

Tổng quát:

• Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có: 

$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$

• Với các biểu thức A, B, C mà $A\ge 0, A \ne B^2,$ ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}$.

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.

Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}$;

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.

Lời giải:

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}=\frac{9(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$=\frac{9\sqrt{2}+9}{2-1}=\frac{9\sqrt{2}+9}{1}=9\sqrt{2}+9$.

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$ 

$=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$.