Cho đường tròn $\left(O;R\right)$ đường kính $AB$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $OA,OB$. Qua $M,N$ lần lượt vẽ các dây $CD$ và $EF$ song song với nhau ($C$ và $E$ cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính $AB$).

a) Chứng minh tứ giác $CDFE$ là hình chữ nhật.

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $CD$.

Chứng minh $CH=DK$.

b) Giả sử $CD$ và $EF$ cùng tạo với $AB$ một góc nhọn $30°$. Tính diện tích hình chữ nhật $CDFE$.

Biết chu vi hình tròn là $16\mathrm{\pi }$ cm. Tính diện tích hình quạt tròn có số đo cung là $50°$.

Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A}=60°$. Gọi $E,F,G,H$lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh 6 điểm $E,F,G,H,B,D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho đường tròn $\left(O;R\right)$. Vẽ hai bán kính $OA, OB$. Trên các bán kính $OA,OB$lần lượt lấy các điểm $M,N$sao cho $OM=ON$. Vẽ dây $CD$đi qua $M,N$($M$nằm giữa $C$và $N$).

a) Chứng minh $CM=DN$.

Một máy cày có hai bánh xe sau lớn hơn hai bánh xe trước. Biết khi bơm căng, bánh xe trước có đường kính 0,8 m, bánh xe sau có đường kính 1,5 m. Hỏi bánh xe sau lăn được 16 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?

b) So sánh $KH$ và $BC$.

Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $BH$ và $CK$.

a) Chứng minh: $B,K,H$ và $C$ cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.

Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.

Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{C}+\widehat{D}=90°$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,BD,DC$ và $CA$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,P,Q$ nằm trên một đường tròn.

b) $ADIC$là hình thoi. Tính diện tích theo $R$.

Cho hình thang $ABCD\left(AB\text{//}CD,AB<CD\right)$ có $\widehat{C}=\widehat{D}=60°,CD=2AD$. Chứng minh 4 điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn.