Dạng 3: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây có đáp án
-
700 lượt thi
-
20 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho đường tròn tâm , bán kính bằng 5 cm và dây .
a) Tính khoảng cách từ đến .
a) Kẻ , suy ra là trung điểm của
(quan hệ đường kính và dây cung).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông , ta có:
. (1)
Vậy khoảng cách từ đến là 3 cm.
Câu 2:
b) Gọi là điểm thuộc dây sao cho . Kẻ dây đi qua và vuông góc với . Chứng minh .
b) Ta có .
Mà tứ giác là hình chữ nhật nên . (2)
Từ (1) và (2) suy ra hay khoảng cách từ tâm đến hai dây và bằng nhau.
(liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Câu 3:
Cho đường tròn tâm đường kính , dây không cắt đường kính . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên .
Chứng minh .
Kẻ là trung điểm của (quan hệ đường kính và dây cung)
. (1)
Ta có: (cùng vuông góc với ) nên tứ giác là hình thang.
Lại có và là trung điểm của nên là đường trung bình của hình thang
là trung điểm của (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).
Câu 4:
Cho đường tròn . Vẽ hai bán kính . Trên các bán kính lần lượt lấy các điểm sao cho . Vẽ dây đi qua (nằm giữa và ).
a) Chứng minh .
a) Kẻ (quan hệ đường kính và dây cung). (1)
Theo giả thiết nên cân tại (2)
Lại có (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra .
Câu 5:
b) Giả sử . Tính theo sao cho .
b) Giả sử . Đặt . Ta có: (vì vuông cân);
.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông có:
.Câu 6:
Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.
Đáp số: .
Câu 8:
Từ công thức diện tích hình tròn , suy ra nếu bán kính tăng lên gấp 3 lần thì diện tích hình tròn sẽ tăng lên 9 lần.
Câu 9:
Biết chu vi hình tròn là cm. Tính diện tích hình quạt tròn có số đo cung là .
Đáp số: .
Câu 10:
Một máy cày có hai bánh xe sau lớn hơn hai bánh xe trước. Biết khi bơm căng, bánh xe trước có đường kính 0,8 m, bánh xe sau có đường kính 1,5 m. Hỏi bánh xe sau lăn được 16 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Bánh xe lăn được một vòng nghĩa là nó đã đi được một độ dài bằng chu vi của bánh xe.
Chu vi bánh xe trước là: .
Chu vi bánh xe sau là: .
Bánh xe sau lăn được 16 vòng nghĩa là nó đi được quãng đường: .
Khi đó bánh xe trước sẽ lăn được số vòng là: .
Câu 11:
Cho tứ giác có . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng bốn điểm nằm trên một đường tròn.
Gọi . Theo giả thiết .
Ta có (vì cùng song song với ).
Và .
Suy ra là hình bình hành.
Lại có nên (góc có cạnh tương ứng song song).
Do đó là hình chữ nhật. Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
Câu 13:
Cho hình thang có . Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
Gọi là trung điểm của . Theo giả thiết suy ra cân tại .
Mà nên đều . (1)
vuông tại .
Lại có
vuông tại .
Mà có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên . (2)
Từ (1) và (2) suy ra hay 4 điểm cùng thuộc đường tròn tâm .
Câu 14:
Cho tam giác có các đường cao và .
a) Chứng minh: và cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
a) Dễ thấy và là hai tam giác có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của .
Câu 15:
b) So sánh và .
b) và lần lượt là đường kính và dây cung của đường tròn .
Do đó .
Câu 16:
Cho đường tròn có là đường kính, là trung điểm của . Vẽ dây vuông góc với tại , là trung điểm của và là điểm đối xứng của qua .
a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
a) Dễ thấy và là hai tam giác có chung cạnh huyền nên bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của .
Câu 18:
Ta có: . Do là trung điểm của nên .
Lại có (do là hình chữ nhật).
Do hai dây và bằng nhau nên .
Câu 19:
Cho đường tròn đường kính . Gọi lần lượt là trung điểm của . Qua lần lượt vẽ các dây và song song với nhau ( và cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính ).
a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
a) Kẻ (quan hệ đường kính và dây cung).
Gọi . Do (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Mà nên suy ra là hình bình hành.
thẳng hàng.
là hình chữ nhật.
Câu 20:
b) Giả sử và cùng tạo với một góc nhọn . Tính diện tích hình chữ nhật .
b) Ta có . Trong tam giác vuông có:
.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông có:
.
Vậy diện tích hình chữ nhật là: .