Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ $\widehat{AB}; \widehat{BC}; \widehat{CA}$. MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Cách giải 1: (Hình 1)

Xét $△$NBI ta có: $\widehat{IBN}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}$ mà $\widehat{B_2}=\frac{{\displaystyle \widehat{CP}}}{2}; \widehat{B_3}=\widehat{NAC}$ (Góc nội tiếp chắn cung $\widehat{NC}$); $\widehat{NAC}=\frac{{\displaystyle \widehat{BAC}}}{2}$
Do đó $\widehat{IBN}=\frac{{\displaystyle \widehat{A}}+{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$

$\widehat{BIN}=\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=\frac{{\displaystyle \widehat{A}}+{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$ (Góc ngoài của tam giác ABI)
$\Rightarrow \widehat{IBN}=\widehat{BIN}$=> $△$NBI cân tại N => N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI.
Ta chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng này chính là RN.
Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có :
$\widehat{BHN}=\frac{1}{2}\mathrm{sđ}(\widehat{BN}+\widehat{AM}+\widehat{AP})=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{sđ}{\displaystyle \widehat{BC}}+\mathrm{sđ}{\displaystyle \widehat{AB}}+\mathrm{sđ}{\displaystyle \widehat{AC}}}{2}$
Vì $\widehat{BHN}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và
$\widehat{BN}=\frac{{\displaystyle \widehat{BC}}}{2}; \widehat{AM}=\frac{{\displaystyle \widehat{AB}}}{2}; \widehat{AP}=\frac{{\displaystyle \widehat{AC}}}{2}\Rightarrow \widehat{BHN}=\frac{1}{4}.{360}^{\circ }={90}^{\circ }$
=> RN là trung trực của đoạn thẳng BI => BR = RI
=> RBI cân tại R $\widehat{B_1}=\widehat{RIB} \mathrm{mà} \widehat{B_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}\Rightarrow \widehat{{\mathrm{B}}_2}=\widehat{\mathrm{RIB}}$
=> IR // BC (Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau)
Cũng chứng minh tương tự ta cũng được IS // BC, từ điểm I ở ngoài đường thẳng BC ta chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với BC
=> R ; I ; S thẳng hàng.
Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

 

Cách giải 2: (Hình 2)

Theo giả thiết ta có $\widehat{MA}=\widehat{MB}$ do đó MN là phân giác của $\widehat{ANB}$
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABN ta có: $\frac{RA}{RB}=\frac{NA}{NB}$ (1)
Tương tự: NP là phân giác của tam giác ACN => $\frac{SA}{SC}=\frac{NA}{NC}$ (2)
vì $\widehat{BN}=\widehat{CN}$ nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta được $\frac{RA}{RB}=\frac{SA}{SC}$
=> RS // BC (định lý Ta-lét đảo)
Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:
$\frac{AI}{ID}=\frac{RA}{RB}$ mà $\frac{NA}{NB}=\frac{RA}{RB}$ suy ra $\frac{AI}{ID}=\frac{NA}{NB}$
$△$BND $~$$△$ANB (vì có góc $\widehat{BNA}$ chung và $\widehat{BAN}=\widehat{NBD}$)
Nên $\frac{NA}{NB}=\frac{AB}{BD}$. Vậy $\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}$
Suy ra BI là phân giác của góc $\widehat{ABC}$
Ở trên ta có I thuộc phân giác AN của $\widehat{BAC}$ ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác $\widehat{ABC}$ nên I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.( Đpcm)