Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng chân của ba đường vuông góc đó thẳng hàng

Xem lời giải

Giải bởi Vietjack

Cách giải 1:
Vì $\hat{D} = \hat{E} = 90^{\circ}$ => tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \hat{B E D} = \hat{B P D}$ ()(Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
$\hat{F} = \hat{E} = 90^{\circ}$ => tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \hat{F E C} = \hat{F P C}$ () (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn $\Rightarrow \hat{B P C} = π - \hat{A}$ (1)
$\begin{matrix} P D ⊥ A B \\ P F ⊥ A C \end{matrix}\} \Rightarrow \hat{D P F} = π - \hat{A}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{B P C} = \hat{D P F}$
$\Rightarrow \hat{B P D} = \hat{F P C}$ ()
Từ () ; () và ()
= D ; E ; F thẳng hàng.

Cách giải 2:
$\begin{matrix} P E ⊥ E C \\ P F ⊥ F C \end{matrix}\} \Rightarrow$ Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \hat{F E P} + \hat{P C F} = 180^{\circ}$ (1)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn $\Rightarrow \hat{A B P} + \hat{F C P} = 180^{\circ}$
Mà $\hat{A B P} + \hat{B D P} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{F C P} = \hat{D B P}$ (2)
$\begin{matrix} P D ⊥ B D \\ P E ⊥ B C \end{matrix}\} \Rightarrow$ Tứ giác EPDB là tứ giác nội tiếp => $\hat{D B P} = \hat{D E P}$ ( 3)
Từ (1) ; (2) và (3) ta có : $\hat{P E F} + \hat{D E P} = 180^{\circ}$
Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

Xem đáp án » 20/09/2022 103

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »