Cho biểu thức: $P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}$.

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tìm tất cả các giá trị của x để $P = \frac{1}{3}$?

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = A - 9\sqrt x$?

1) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x \ge 0\\\sqrt x  + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ge 0\\\sqrt x  \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1$

Ta có: $P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}$

$= \left[ {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}$

$= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}$

Vậy $P = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}$.

Cách 2: Đặt $a = \sqrt x$ $\left( {a \ge 0} \right)$

Ta có: $P = \left( {\frac{1}{{{a^2} - a}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right):\frac{{a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}}$

$= \left[ {\frac{{1 + a}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a - 1}}{a} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}$.

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.                           

2) Với $P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x  \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$ (thõa mãn).

Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước.

3) Ta có $Q = P - 9\sqrt x  = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x  = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm $\frac{1}{{\sqrt x }}$ và $9\sqrt x$, tạ có:

$\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 2\sqrt 9  = 6$.

$\Rightarrow Q \le 1 - 6 =  - 5$

Dấu " = " xảy ra khi $\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow 1 = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Vậy $\max P =  - 5$ khi $x = \frac{1}{9}$.

Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.