IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) - Đề số 7

  • 3250 lượt thi

  • 5 câu hỏi

  • 120 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\).

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(P = \frac{1}{3}\)?

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = A - 9\sqrt x \)?

Xem đáp án

1) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x \ge 0\\\sqrt x  + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ge 0\\\sqrt x  \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\).

Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(\left( {a \ge 0} \right)\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} - a}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right):\frac{{a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{{1 + a}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a - 1}}{a} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\).

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.                           

2) Với \(P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x  \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\) (thõa mãn).

Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước.

3) Ta có \(Q = P - 9\sqrt x  = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x  = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) và \(9\sqrt x \), tạ có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 2\sqrt 9  = 6\).

\( \Rightarrow Q \le 1 - 6 =  - 5\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow 1 = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Vậy \(\max P =  - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}\).

Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.


Câu 2:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = 8cm,\,\,AC = 6cm\). M là một điểm trên AB. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BC lần lượt cắt BC và AC tại D và N. Hãy xác định điểm M để diện tích của hình bình hành MNCD bằng \(\frac{3}{8}\) diện tích của tam giác ABC?

2) Cho hàm số \(y = mx + 1\) (1)

a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) . Với giá trị \(m\) vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng \(\left( d \right):x + y + 3 = 0\).

Xem đáp án
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.  Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = 8cm,\,\,AC = 6cm\). M là một điểm trên AB. (ảnh 1)

Gọi độ dài AM là x (cm), \(0 < x < 8\).

Theo định lý Ta-lét trong tam giác ABC với \(MN//BC\) ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{x}{8} = \frac{{AN}}{6} \Leftrightarrow AN = \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow NC = AC - AN = 6 - \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\).

Diện tích hình bình hành \(MNCD\) là:

\({S_{MNCD}} = AM.NC = x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)

Theo bài ra, diện tích của hình bình hành MNCD bằng \(\frac{3}{8}\) diện tích của tam giác ABC, nên ta có phương trình \(x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right) = \frac{3}{8}.24\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.

2)

a) Do đồ thị hàm số (1) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) nên ta có phương trình \(4 = m.1 + 1 \Leftrightarrow m = 3\) .

Với \(m = 3\) hàm số (1) có dạng \(y = 3x + 1\)

Vì \(3 > 0\) nên hàm số (1) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Phương trình đường thẳng \[\left( d \right)\] là: \(y =  - x - 3\).

Để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng \[\left( d \right)\] thì \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\1 \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\)

Vậy \(m =  - 1\) thì đồ thị của hàm số (1) song song với đường thẳng \[\left( d \right)\].


Câu 3:

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\z - 3x - 2y + 2 = 0\end{array} \right.\)

2) Giải phương trình: \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 5}  = 2x - 2\).

3) Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm duy nhất?

Xem đáp án

1) Hệ phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\z - 3\left( {2 + z} \right) - 2\left( {2 + 3z} \right) + z = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\ - 8z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\\z =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

2) Phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\2{x^2} + 3x - 5 = {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} + 3x - 5 = 4{x^2} - 8x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 11x + 9 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 9} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 1;x = \frac{9}{2}\).

3)

+ Xét \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\), phương trình trở thành: \( - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)

Do đó \(m = 1\) thỏa mãn.

+ Xét \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) (*).

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\Delta ' = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4m + 5 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{5}{4}\)  (thỏa mãn điều kiện (*))

Kết luận: \(m = 1\) hoặc \(m =  - \frac{5}{4}\).


Câu 4:

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O:R} \right)\) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ \(MI \bot AB,\,\,MK \bot AC\) \(\left( {I \in AB,\,\,K \in AC} \right)\)

1) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2) Vẽ \(MP \bot BC\) \(\left( {P \in BC} \right)\). Chứng minh: \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\).

3) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích \[MI.MK.MP\] đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án
 Media VietJack

1) Ta có \(\widehat {AIM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \left( {gt} \right)\), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới góc \(90^\circ \).

2) Tứ giác CPMK có \(\widehat {MPC} = \widehat {MKC} = 90^\circ \) (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MCK}\)(1). Vì KC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên ta có: \(\widehat {MCK} = \widehat {MBC}\) (cùng chắn ) (2).

Từ (l), (2) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MBC}\) (3).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai góc bằng nhau bằng cách sử dụng tính chất bắc cầu.         

3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: \(\widehat {MIP} = \widehat {MBP}\) (4). Từ (3) (4) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MIP}\)

Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {MKP} = \widehat {MPI}\).

Suy ra: \(\Delta MPK\) đồng dạng với \(\Delta MIP\)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{MK}} = \frac{{MI}}{{MP}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2} \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\)

Do đó \(MI.MK.MP\) lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).

Lại có: \(MP + OH \le OM = R \Rightarrow MP \le R - OH\). Do đó MP lớn nhất bằng \(R - OH\) khi và chỉ khi \(O,H,M\) thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Suy ra \(max\,MI.MK.MP = {\left( {R - OH} \right)^3} \Leftrightarrow M\) nằm chính giữa cung nhỏ BC.


Câu 5:

Tìm \[a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c\] biết rằng phương trình: \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\)?

Xem đáp án

Phương trình có hai nghiệm là \(x =  - 1\) và \(x = 1\), thay vào phương trình ta được hệ

 \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\1 + a + b + c = 0\end{array} \right.\)

Trừ hai phương trình trên, ta được: \( - 2 - 2b = 0 \Leftrightarrow b =  - 1\)

Cộng hai phương trình trên, ta được: \(a + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a\)

Phương trình trở thành: \[{x^3} + a{x^2} - x - a = 0\]

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + a} \right) - \left( {x + a} \right) \Leftrightarrow \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)

Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\), khi đó phương trình \(x + a = 0\) phải có nghiệm là \( - 1\) hoặc 1, suy ra. \(a = 1\) hoặc \(a =  - 1\).

Vậy các số a; b; c cần tìm là \(a = 1;b =  - 1;c =  - 1\) hoặc \(a =  - 1;b =  - 1;c = 1\).


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm