Câu hỏi:

09/07/2024 90

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức $P = x y + 2 (x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\{\begin{matrix} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + {(m - x)}^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + m^{2} - 2 m x + x^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ 2 x^{2} - 2 m x + 2 m^{2} - 6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0 \end{matrix}$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0$ có nghiệm

$\Leftrightarrow Δ = m^{2} - 4 (m^{2} - 3) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m^{2} + 12 \geq 0 \Leftrightarrow 12 - 3 m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Với m thỏa mãn $- 2 \leq m \leq 2$ thì phương trình có nghiệm (x; y). Khi đó ta có:

$P = x y + 2 (x + y) = \frac{1}{2} [{(x + y)}^{2} - (x^{2} + y^{2})] + 2 (x + y)$

$\Leftrightarrow P = \frac{1}{2} [m^{2} - (- m^{2} + 6)] + 2 m = \frac{1}{2} (2 m^{2} - 6) + 2 m \Leftrightarrow P = m^{2} + 2 m - 3 = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$

Nhận xét: ${(m + 1)}^{2} \geq 0 \forall m \in [- 2; 2]$ , dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1$ thỏa mãn điều kiện.

$\Rightarrow P \geq - 4$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1.$

Vậy minP=-4 khi m=-1

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải hệ phương trình sau : $\{\begin{cases} 5 x + 7 y = 3 \\ 5 x - 4 y = - 8 \end{cases}$

Xem đáp án » 03/10/2022 346

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} (x + y) + (x + 2 y) = - 2 \\ 3 (x + y) + (x - 2 y) = 1 \end{cases}$

Xem đáp án » 03/10/2022 214

Câu 3:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 10 \\ x + 3 y = 7 \end{cases}$

Xem đáp án » 03/10/2022 191

Câu 4:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} m x - y = n \\ n x + m y = 1 \end{cases}$ (I) (m, n là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi $m = - \frac{1}{2}$ ; $n = \frac{1}{3}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 184

Câu 5:

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2} + b^{2}$ biết a, b thỏa mãn

$\{\begin{matrix} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}} = 1 \end{matrix}$

Xem đáp án » 03/10/2022 181

Câu 6:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 6 \\ x + 2 y = 10 \end{cases}$

Xem đáp án » 03/10/2022 169

Câu 7:

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{matrix}$

Xem đáp án » 03/10/2022 159

Câu 8:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 1 (1) \\ x - y = 3 (2) \end{cases}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 155

Câu 9:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 3 x - y = 5 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 148

Câu 10:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + 2 \sqrt{y - 1} = 5 \\ 4 \sqrt{x} - \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases} .$

Xem đáp án » 03/10/2022 144

Câu 11:

Tìm a và b biết hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + y = 1 \\ a x + b y = - 5 \end{cases}$ có một nghiệm là (2;-3).

Xem đáp án » 03/10/2022 136

Câu 12:

Tìm a và b để hệ pt $\{\begin{cases} a x + y = - 5 \\ b x + a y = 1 \end{cases}$ có nghiệm $(x; y) = (1; - 1)$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 133

Câu 13:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{cases}$

Xem đáp án » 03/10/2022 125

Câu 14:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x = 2 \\ m x + y = m^{2} + 3 \end{cases}$ với m là tham số. Tìm m để x+y nhỏ nhất.

Xem đáp án » 03/10/2022 121

Câu 15:

Giải hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} x + 2 y = 1 \\ 2 x - y = 7 \end{matrix}$

Xem đáp án » 03/10/2022 117

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 9398 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai có đáp án

5 đề 8139 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 7090 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 6431 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án

5 đề 3857 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Căn bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai A^2 = |A| có đáp án

5 đề 3776 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp án

5 đề 3450 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án

18 đề 3342 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Hàm số bậc nhất lớp 9 có đáp án

5 đề 3097 lượt thi Thi thử
Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

10 đề 3095 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho hệ phương trình: x+y=mx2+y2=−m2+6 (m là tham số) Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức P=xy+2x+y đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải hệ phương trình sau : 5x+7y=35x−4y=−8

Câu 2:

Giải hệ phương trình x+y+x+2y=−23x+y+x−2y=1

Câu 3:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình: 3x−2y=10x+3y=7

Giải hệ phương trình sau : $\{\begin{cases} 5 x + 7 y = 3 \\ 5 x - 4 y = - 8 \end{cases}$

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} (x + y) + (x + 2 y) = - 2 \\ 3 (x + y) + (x - 2 y) = 1 \end{cases}$

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 10 \\ x + 3 y = 7 \end{cases}$