48 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề 6: Hệ phương trình (có đáp án) - hamchoi.vn

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án

Chuyên đề 6: Hệ phương trình (có đáp án)

2911 lượt thi
48 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Giải hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ 3 x - 3 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 10 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 2.2 + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(2;1)

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x - y = 3 \\ 3 x - 2 y = 8 \end{cases} .$

$\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 14 \\ 2 x - y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 4 - y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} .$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;1)

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 3 \end{cases}$

Hệ phương trình

$\{\begin{cases} 3 x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 10 - 3 x \\ 2 x - 3 (10 - 3 x) = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 10 - 3 x \\ 11 x - 30 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 1 \\ x = 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(3;1)

Câu 4:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} (x + y) + (x + 2 y) = - 2 \\ 3 (x + y) + (x - 2 y) = 1 \end{cases}

$\{\begin{cases} (x + y) + (x + 2 y) = - 2 \\ 3 (x + y) + (x - 2 y) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 2 \\ 4 x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = - 2 \\ - 12 x - 3 y = - 3 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = - 2 \\ - 10 x = - 5 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2. \frac{1}{2} + 3 y = - 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = - 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=( $\frac{1}{2}; - 1$ )

Câu 5:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} m x - y = n \\ n x + m y = 1 \end{cases}$ (I) (m, n là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi $m = - \frac{1}{2}$ ; $n = \frac{1}{3}$ .

Thay $m = - \frac{1}{2}$ , $n = \frac{1}{3}$ vào hệ phương trình (I) ta được: $\{\begin{cases} - \frac{1}{2} x - y = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 1 \end{cases}$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{3}) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} x + \frac{1}{6} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \\ \frac{7}{12} x = \frac{5}{6} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{10}{7} \\ y = - \frac{22}{21} \end{cases}

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (\frac{10}{7}; - \frac{22}{21})$

Câu 6:

b) Xác định m, n biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $(- 1; \sqrt{3})$ .

$\{\begin{cases} - m - \sqrt{3} = n \\ - n + \sqrt{3} m = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m + n = - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} m - n = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m + n = - \sqrt{3} \\ (1 + \sqrt{3}) m = 1 - \sqrt{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m + n = - \sqrt{3} \\ m = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \sqrt{3} - 2 \\ n = - \sqrt{3} - m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \sqrt{3} - 2 \\ n = - 2 \sqrt{3} + 2 \end{cases}$

Vậy khi $(m; n) = (\sqrt{3} - 2; - 2 \sqrt{3} + 2)$ thì hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (- 1; \sqrt{3})$

Câu 7:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x = 4 \\ x + y = 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x = 4 \\ x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;3)

Câu 8:

Không sử dụng máy tính cầm tay, Giải hệ phương trình:

\{\begin{matrix} 3 x - y = 1 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix} .

$\{\begin{matrix} 3 x - y = 1 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 x - 2 y = 2 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 7 x = 7 \\ 3 x - y = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 x - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix} .$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(1;2)

Câu 9:

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x - y = 5 \\ x + 5 y = - 3 \end{matrix}$ .

P = {(x + y)}^{2017}

với x, y vừa tìm được.

$\{\begin{matrix} 2 x - y = 5 \\ x + 5 y = - 3 \end{matrix} \{\begin{matrix} 2 x - y = 5 \\ 2 x + 10 y = - 6 \end{matrix} \{\begin{matrix} 2 x - y = 5 \\ 11 y = - 11 \end{matrix} \{\begin{matrix} 2 x = 5 + y \\ 11 y = - 11 \end{matrix} \{\begin{matrix} 2 x = 5 - 1 \\ y = - 1 \end{matrix} \{\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duynhaats (x;y)=(2;-1)

$P = {(x + y)}^{2017} = {[2 + (- 1)]}^{2017} = 1^{2017} = 1$

Câu 10:

Không sử dụng máy tính giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ 2 x + y = 8. \end{cases}

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ 2 x + y = 8. \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 (8 - 2 x) = 5 \\ y = 8 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 16 + 4 x = 5 \\ y = 8 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 21 \\ y = 8 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 8 - 2.3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;2)

Câu 11:

Giải hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} 5 x - 2 y = 11 \\ x + y = - 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 5 x - 2 y = 11 \\ x + y = - 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x - 2 (- 2 - x) = 11 \\ y = - 2 - x \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (1;-3)

Câu 12:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 6 \\ x + 2 y = 10 \end{cases}$

Giải hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 6 \\ x + 2 y = 10 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x = 16 \\ x + 2 y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ 4 + 2 y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y)=(4;3)

Câu 13:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P=xy+2(x+y) đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

$\{\begin{matrix} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + {(m - x)}^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + m^{2} - 2 m x + x^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ 2 x^{2} - 2 m x + 2 m^{2} - 6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0 \end{matrix}$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0$ có nghiệm

$\Leftrightarrow Δ = m^{2} - 4 (m^{2} - 3) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m^{2} + 12 \geq 0 \Leftrightarrow 12 - 3 m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Với m thỏa mãn $- 2 \leq m \leq 2$ thì phương trình có nghiệm (x;y). Khi đó ta có:

$P = x y + 2 (x + y) = \frac{1}{2} [{(x + y)}^{2} - (x^{2} + y^{2})] + 2 (x + y) \Leftrightarrow P = \frac{1}{2} [m^{2} - (- m^{2} + 6)] + 2 m = \frac{1}{2} (2 m^{2} - 6) + 2 m \Leftrightarrow P = m^{2} + 2 m - 3 = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$

Nhận xét: ${(m + 1)}^{2} \geq 0 \forall m \in [- 2; 2]$ , dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1$ thỏa mãn điều kiện

$\Rightarrow P \geq - 4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1$

Vậy minP=-4 khi m=-1

Câu 14:

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 9 \\ x - 3 y = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 9 \\ x - 3 y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y = 9 \\ 3 x - 9 y = 30 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y = 9 \\ 7 y = - 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 (- 3) = 9 \\ y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (1; -3)

Câu 15:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức $P = x y + 2 (x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

$\{\begin{matrix} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + {(m - x)}^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + m^{2} - 2 m x + x^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ 2 x^{2} - 2 m x + 2 m^{2} - 6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0 \end{matrix}$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0$ có nghiệm

$\Leftrightarrow Δ = m^{2} - 4 (m^{2} - 3) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m^{2} + 12 \geq 0 \Leftrightarrow 12 - 3 m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Với m thỏa mãn $- 2 \leq m \leq 2$ thì phương trình có nghiệm (x; y). Khi đó ta có:

$P = x y + 2 (x + y) = \frac{1}{2} [{(x + y)}^{2} - (x^{2} + y^{2})] + 2 (x + y)$

$\Leftrightarrow P = \frac{1}{2} [m^{2} - (- m^{2} + 6)] + 2 m = \frac{1}{2} (2 m^{2} - 6) + 2 m \Leftrightarrow P = m^{2} + 2 m - 3 = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$

Nhận xét: ${(m + 1)}^{2} \geq 0 \forall m \in [- 2; 2]$ , dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1$ thỏa mãn điều kiện.

$\Rightarrow P \geq - 4$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1.$

Vậy minP=-4 khi m=-1

Câu 16:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} = 3 \\ 3 x - y^{2} = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} = 3 (1) \\ 3 x - y^{2} = 2 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (2) suy ra $x = \frac{y^{2} + 2}{3}$ , thay vào phương trình (1) ta được: $\frac{{(y^{2} + 2)}^{2}}{9} + 2 y^{2} = 3 \Leftrightarrow y^{4} + 22 y^{2} - 23 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y^{2} = 1 \\ y^{2} = - 23 (VN) \end{array} \Leftrightarrow y = \pm 1 \Rightarrow x = 1$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = (1; 1), (1; - 1)$

Câu 17:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 3 x - y = 5 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 3 x - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 6 x - 2 y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 14 \\ 3 x - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ có một nghiệm (x;y)=(2;1)

Câu 18:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Giải hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 2 x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 9 \\ x + y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ 3 + y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y)=(3;1)

Câu 19:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 7 x - 3 y = 4 \\ 4 x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x - 3 y = 4 \\ 12 x + 3 y = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x - 3 y = 4 \\ 19 x = 19 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ 7.1 - 3 y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$

Câu 20:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 3 \\ 2 x - y = - 4 \end{cases}$

Ta có $\{\begin{cases} x + 2 y = 3 \\ 2 x - y = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 - 2 y \\ 2 (3 - 2 y) - y = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 - 2 y \\ - 5 y = - 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;2)

Câu 21:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 8 \\ x + 3 y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 8 \\ x + 3 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 7 \\ y = \frac{1 - x}{3} = \frac{1 - 7}{3} = - 2 \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(7;-2)

Câu 22:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 3 - x = y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 3 - x = y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x + 3 - x = 5 \\ y = 3 - x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = 2 \\ y = 3 - x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Câu 23:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình

\{\begin{cases} \sqrt{x} + 2 \sqrt{y - 1} = 5 \\ 4 \sqrt{x} - \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases} .

ĐKXĐ: $x \geq 0$ và $y \geq 1$

Ta có hệ:

$\{\begin{matrix} \sqrt{x} = 5 - 2 \sqrt{y - 1} \\ 4 (5 - 2 \sqrt{y - 1}) - \sqrt{y - 1} \end{matrix}$

Giải được: $\{\begin{matrix} \sqrt{y - 1} = 2 \\ \sqrt{x} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = 5 \\ x = 1 \end{matrix}$ ( t / m)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 5 \end{matrix}$

Câu 24:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x - y = 7 \\ 5 x + y = 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x - y = 7 \\ 5 x + y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y = 7 \\ 8 x = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}$

Câu 25:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 10 \\ x + 3 y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 10 \\ x + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y = 10 \\ 3 x + 9 y = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 y = 11 \\ x + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 1 \\ x + 3 = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$

Câu 26:

Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình sau $\{\begin{cases} 3 x - 2 (2 y - 1) = 0 \\ 3 x + 2 y = 2 (7 - x) \end{cases} .$

$\{\begin{cases} 3 x - 2 (2 y - 1) = 0 \\ 3 x + 2 y = 2 (7 - x) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 4 y = - 2 \\ 5 x + 2 y = 14 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 2 y = 14 - 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$

Câu 27:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x - 2 y = 3 - m \\ 2 x + y = 3 (m + 2) \end{cases} (I)$ , m là tham số.

a) Giải hệ với m=2

a) Với m=2, hệ (I) trở thành:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - 2 y = 1 \\ 2 x + y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 y = 1 \\ 4 x + 2 y = 24 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 25 \\ 2 x + y = 12 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ 2 \cdot 5 + y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases} \end{array}$

Vậy với m=2 thì nghiệm của hệ (I) là (5;2).

Câu 28:

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b) Ta thấy: $\frac{1}{2} \neq \frac{- 2}{1}$

\Rightarrow

Hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

Câu 29:

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x^{2} + y^{2}$ , trong đó (x;y) là nghiệm duy nhất của hệ (I).

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - 2 y = 3 - m \\ 2 x + y = 3 (m + 2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 4 y = 6 - 2 m \\ 2 x + y = 3 m + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 y = 3 - m \\ 5 y = 5 m \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 m = 3 - m \\ y = m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = m + 3 \\ y = m \end{cases} \end{array}$

Do đó:

$\begin{array}{l} A = x^{2} + y^{2} = + m^{2} = 2 m^{2} + 6 m + 9 \\ = 2 {(m + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{2} \geq \frac{9}{2} \forall m \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $m = - \frac{3}{2}$ .

Vậy $\min A = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}$ .

Câu 30:

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + 3 y = 9 \\ x - y = 1 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} x + 3 y = 9 \\ x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ x = 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;2)

Câu 31:

Tìm a và b để hệ pt $\{\begin{cases} a x + y = - 5 \\ b x + a y = 1 \end{cases}$ có nghiệm $(x; y) = (1; - 1)$ .

Để hệ phương trình có nghiệm là $(x; y) = (1; - 1)$ thì

$\{\begin{cases} a .1 + (- 1) = - 5 \\ b .1 + a . (- 1) = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 4 \\ b = - 3 \end{cases}$ .

Vậy với $(x; y) = (1; - 1)$ thì hệ pt $\{\begin{cases} a x + y = - 5 \\ b x + a y = 1 \end{cases}$ có nghiệm $(x; y) = (1; - 1)$ .

Câu 32:

Giải hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} x + 2 y = 1 \\ 2 x - y = 7 \end{matrix}$

\{\begin{matrix} x + 2 y = 1 \\ 2 x - y = 7 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 2 y = 1 \\ 4 x - 2 y = 14 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 2 y = 1 \\ 5 x = 15 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 3 \\ y = - 1 \end{matrix}

Câu 33:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x = 2 \\ m x + y = m^{2} + 3 \end{cases}$ với m là tham số. Tìm m để x+y nhỏ nhất.

Theo định lý Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 4 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 4 a (1) \\ c = - 5 a (2) \end{cases}$

Từ (1) và (2) thay vào b+c=5 ta được: $4 a - 5 a = 5 \Leftrightarrow a = - 5$

Suy ra $b = - 20; c = 25$ .

Vậy phương trình đã cho có dạng: $- 5 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Câu 34:

Giải hệ phương trình:

\{\begin{cases} x - 2 y = 4 \\ 2 x + 3 y = 1 \end{cases}

Hệ phương trình đã cho tương đương

$\{\begin{cases} 2 x - 4 y = 8 \\ 2 x + 3 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 7 y = 7 \\ 2 x + 3 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 1 \\ 2 x + 3 (- 1) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 1 \\ 2 x - 3 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}$

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; - 1)$ .

Câu 35:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 1 (1) \\ x - 2 y = - 5 (2) \end{cases}$

Lấy (1) +(2) ta được: $4 x = - 4 \Leftrightarrow x = - 1$ , thay x=-1 vào (2) ta được y=2. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $S = (- 1; 2)$

Câu 36:

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{matrix}$

Điều kiện: $x \neq 0; y \neq - 1$

$\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ y + 1 = x y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 2 y = 6 \\ y + 1 = x y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 - y \\ y + 1 = y (3 - y) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 - y \\ y + 1 = y (3 - y) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 - y \\ y^{2} - 2 y + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 - y \\ {(y - 1)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

(thỏa mãn điều kiện).

Câu 37:

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ 4 x + y = - 1 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ 4 x + y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x = 3 \\ 4 x + y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = - 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (\frac{1}{2}; - 3)$

Câu 38:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x = 12 \\ x + 2 y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ x + 2 y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm (x;y)=(2;1)

Câu 39:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 4 x - y = 7 \\ x + 3 y = 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x - y = 7 \\ x + 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 12 x - 3 y = 21 \\ x + 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 13 x = 26 \\ y = 4 x - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4. 2 - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(2;1)

Câu 40:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x^{2} + y = 5 \end{cases}$

a) Ta có

$\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x^{2} + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ x^{2} + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ x^{2} + 2 x - 3 - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ x^{2} + 2 x - 8 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 4 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2.2 - 3 = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 4 \\ y = 2. (- 4) - 3 = - 11 \end{cases} \end{array}$

Vậy hệ có hai nghiệm $(x; y) \in \{(2; 1), (- 4; - 11)\}$ .

Câu 41:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2} + b^{2}$ biết a, b thỏa mãn

$\{\begin{matrix} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}} = 1 \end{matrix}$

Câu 42:

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} 2 x + y = - 1 \\ x - 2 y = 7 \end{cases} .$

$\{\begin{cases} 2 x + y = - 1 \\ x - 2 y = 7 \end{cases} . \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x + 2 y = - 2 \\ x - 2 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 1 - 2 x \\ 5 x = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases}$

Vậy hệ đã cho có một nghiệm (1;-3)

Câu 43:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = 4 \\ 2 y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Câu 44:

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2} + b^{2}$ biết a, b thỏa mãn

$\{\begin{matrix} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}} = 1 \end{matrix}$

Điều kiện: $a \neq 0, b \neq 0$ .

Từ giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} 3 a^{2} + \frac{1}{b} = b^{2} (1) \\ 3 b^{2} + \frac{2}{a} = a^{2} (2) \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 3 a^{2} b + 1 = b^{3} \\ 3 b^{2} a + 2 = a^{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a^{2} b - b^{3} = - 1 \\ 3 b^{2} a - a^{3} = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {9a}^{4} b^{2} - 6 a^{2} b^{4} + b^{6} = 1 \\ 9 b^{4} a^{2} - 6 b^{2} a^{4} + a^{6} = 4 \end{cases} \\ \Rightarrow a^{6} + 3 a^{4} b^{2} + 3 a^{2} b^{4} + b^{6} = 5 \\ \Rightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{3} = 5 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \sqrt[3]{5} \end{array}$

Câu 45:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 1 (1) \\ x - y = 3 (2) \end{cases}$ .

* Cách 1: Từ (2) suy ra: $x = 3 + y$ (3)	* Cách 2: Biến đổi hệ số của một phương trình
Thay (3) vào (1) ta được: $2 (3 + y) + 3 y = 1 \Leftrightarrow y = - 1$ .	Cộng (trừ), tìm đúng giá trị một ẩn
$y = - 1 \Rightarrow x = 2$	Tìm đúng giá trị ẩn còn lại
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y)=(2;-1).	Kết luận đúng $(x; y) = (2; - 1)$ .

Câu 46:

Giải hệ phương trình sau : $\{\begin{cases} 5 x + 7 y = 3 \\ 5 x - 4 y = - 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 x + 7 y = 3 \\ 5 x - 4 y = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 y = 11 \\ 5 x - 4 y = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 1 \\ 5 x = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{4}{5} \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (- \frac{4}{5}; 1)$

Câu 47:

Giải hệ phương trình sau :

\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = - 1 \end{cases}

$\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x - 2 y = 6 \\ x + 2 y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ 5 x = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)=(1;-1)

Câu 48:

Tìm a và b biết hệ phương trình

\{\begin{cases} a x + y = 1 \\ a x + b y = - 5 \end{cases}

có một nghiệm là (2;-3).

Hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + y = 1 \\ a x + b y = - 5 \end{cases}$ có một nghiệm là (2;-3).

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a - 3 = 1 \\ 2 a - 3 b = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a = 4 \\ 4 - 3 b = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ - 3 b = - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 2 \\ b = 3 \end{matrix}$

Vậy với a=2 và b=3 thì hệ phương trình đã cho có một nghiệm là (2;-3).

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm