Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

a) Tính độ dài của MN biết AC = 16cm.

b) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh tứ giác BMIN là hình bình hành.

c) Trên tia đối của tia NM lấy E sao cho N là trung điểm ME. Gọi K là giao điểm của EI và MC. Chứng minh MC = 3KC.

Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN. Chứng minh:

a) OM song song O'N;

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO' lớn nhất.

Giải phương trình: \[\sqrt {x + 1} + 1 = 4{x^2} + \sqrt {3x} \].

Cho đoạn thẳng AB. Xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho CA ≤ CB.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁: x − 2y + 1 = 0 và d₂: −3x + 6y – 10 = 0.

Không thực hiện phép tính,so sánh các tính sau rồi điền dấu >, < hoặc = và viết vào chỗ chấm cho thích hợp:

a) 357,32× 0,34 ....... 35,732 × 3,4; vì ............

b) 491,5× 0,05 ....... 4,915 × 5; vì...............

Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để y = mx²− 2mx − 3m − 2 có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên ℝ.

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1,2,3 luôn đứng cạnh nhau.

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Cho tam giác ABC.Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Hãy phân tích \[\overrightarrow {AI} \]qua hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \]

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.

a) Biểu diễn \[\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \]theo hai vectơ \[\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \]và biểu diễn \[\overrightarrow {AJ} \]qua \[\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \].

b) Biểu diễn \[\overrightarrow {AG} \]theo hai vectơ\[\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \].

Cho hai đường tròn (O) và (O¢) cắt nhau tại A và B như hình bên. Biết OA =15cm, O¢A = 13cm, AB = 24cm. Tính độ dài OO¢.

Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành OBO'C.

Chứngminh: AC//OO'

Cho x² + y² + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của: A = x² − xy + 2y²

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+ z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:\(P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2). Chứng minh rằng 3 điểm A B, C tạo thành tam giác.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy AN bằng \(\frac{1}{2}\) NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Hãy tính diện tích tam giác AKC? Biết diện tích tam giác KAB bằng 42 dm².

Cho tam giác ABC có M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho CN = 2AN.Đoạn thẳng BN cắt CM ở O.Biết diện tích tam giác OBC bằng 20cm². Tính diện tích tam giác ABC.

Tìm GTNN của B = 2x²+3y²+4xy − 8x − 2y + 18

Cho 2 số dương x, y thay đổi thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của biểu thức:\(M = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{2x + y}}\).

Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1.

Tìm GTNN của: \(P = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {2y + \frac{1}{y}} \right)^2}\).

Giải phương trình: cot² x – tan² x = 16cos 2x.

Giải phương trình: \(\frac{{{{\cot }^2}x - {{\tan }^2}x}}{{\cos 2x}} = 16\left( {1 + \cos 4x} \right)\).

Chứng minh 4x − 10 − x² luôn luôn âm với mọi x.

Chứng minh rằng biểu thức:

a) x² + 2x + 3 luôn dương với mọi x;

b) −x² + 4x − 5 luôn âm với mọi x.

Cho B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh B chia hết cho 13.

Cho B=3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh:

a) B chia hết cho 3;

b) B chia hết cho 4;

c) B chia hết cho 13.

Cho a ≥ 1; b ≥ 9; c ≥ 16 thỏa mãn a.b.c = 1 152. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy.

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tamgiác đều cạnh a; SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên SB; SC. Tính diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, K, H.

Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).

b) Chứng minh MN // (ABCD).

c) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với (AMN).

Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SC.Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Cho tam giác ABC, \(AB = a,\;AC = a\sqrt 3 ,\;\widehat {BAC} = 60^\circ \) và \(\widehat A = 60^\circ .\) Tính diện tích tam giác ABC theo a.

Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và \(\widehat A = 60^\circ .\) Tính độ dài cạnh BC.

Tổng của số thứ nhất và số thứ hai là 18,36;tổng của số thứ hai và số thứ ba là 21,64; tổng của số thứ ba và số thứ nhất là 20. Tính tổng của ba số đó?

Tìm ba số, biết tổng thứ nhất và thứ hai bằng 182. Tổng của số thứ hai và thứ ba bằng 176, tổng của số thứ ba và số thứ nhất bằng 188.

Tìm m để mọi x Î [0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình:

(m² − 1)x² − 8mx + 9 − m² ≥ 0

Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)

Cho f(x) = −x² − 2(m − 1)x + 2m − 1.

Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)

Hình vẽ một mảnh đất hình chữ nhật trên bản đồ tỉ lệ 1 : 1000 có chiều dài 8 cm, chiều rộng 6 cm. Vậy diện tích thực tế của mảnh đất đó là bao nhiêu?

Trên một bản đồ tỉ lệ 1 : 1 000 có hình vẽ một khu đất hình chữ nhật với chiều dài 6 cm và chiều rộng 4 cm. Tính diện tích khu đất đó bằng đơn vị ha.

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a.Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.

a) Chứng minh \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.

c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách.