Lời giải

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5x + 28} = t{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\)

⇒ x² + 5x = t² – 28

Phương trình trở thành: t² – 28 + 4 – 5t = 0

⇔ t² – 5t – 24 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với t = 8 ta có \[\sqrt {{x^2} + 5x + 28} = 8\]

⇔ x² + 5x + 28 = 64

⇔ x² + 5x – 36 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 9\end{array} \right.\)

Vậy \(x \in \left\{ {4; - 9} \right\}\).

Lời giải

Ta có:

(0,25)⁸ = [(0,5)²]⁸ = (0,5)^2.8 = (0,5)¹⁶

(0,125)⁴ = [(0,5)³]⁴ = (0,5)^3.4 = (0,5)¹²

Lời giải

Gọi A là biến cố “ba viên bi lấy được chỉ có hai màu”

Ta có: Số phần tử của không gian mẫu: \(C_{16}^3 = 560\)

Số cách chọn được ba viên bi chỉ có một màu: \(C_4^3 + C_5^3 + C_7^3 = 49\)

Số cách chọn được ba viên bi có đủ ba màu: \(C_4^1 + C_5^1 + C_7^1 = 140\)

Vậy xác suất cần tìm là: \({\rm P}\left( A \right) = 1 - \frac{{49 + 140}}{{560}} = \frac{{53}}{{80}}\).

Lời giải.

(10² + 11² + 12²) : (13² + 14²)

= (10 × 10 + 11 × 11 + 12 × 12) : (13² + 14²)

= [(12 + 1)² + (12 + 2)²] : (13² + 14²)

= (13² + 14²) : (13² + 14²)

= 1

Lời giải

y² = x(x + 1)(x + 7)(x + 8) ⟺ y² = (x² + 8x)( x² + 8x + 7)

Đặt t = x² + 8x, ta có: y² = t(t + 7) = t² + 7t

⟺ 4y² = 4t² + 28t + 49 – 49

⟺ (2t + 7)² – 4y² = 49

⟺ (2t + 7 – 2y)(2t + 7 + 2y) = 49 = 7.7

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + 7 - 2y = 7\\2t + 7 + 2y = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} + 16x + 7 - 2y = 7\\2{x^2} + 16x + 7 + 2y = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} + 16x - 2y = 0\\2{x^2} + 16x + 2y = 0\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: (–8; 0), (0; 0).

Lời giải                                                  

Với 12 que diêm (hay 12 chiếc que có độ dài bằng nhau), ta có thể xếp chúng thành hình lục giác đều với các đường chéo chính cắt nhau như hình trên, ta được 6 hình tam giác đều.

Lời giải

Ta có:

5²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺⁴ +2ⁿ⁺¹

= 5.5²ⁿ + 2⁴.2ⁿ + 2.2ⁿ

= 5.25ⁿ + 18.2ⁿ

= 5.25ⁿ + 23.2ⁿ – 5.2ⁿ

= 23.2ⁿ + 5(25ⁿ – 2ⁿ)

Ta có 25ⁿ – 2ⁿ ⋮ (25 – 2)

⇒ 25ⁿ – 2ⁿ ⋮ 23

⇒ 5(25ⁿ – 2ⁿ) ⋮ 23

Vì 23 ⋮ 23 ⇒ 23. 2ⁿ ⋮ 23

Vậy 23. 2ⁿ + 5(25ⁿ – 2ⁿ) ⋮ 23 ⇒ 5²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺⁴ +2^n:1 ⋮ 23.

Lời giải  

Kẻ BH ⊥ AC tại H

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

\[sinA = \frac{{BH}}{{AB}}\] ⇒ BH = AB . sinA

Mặt khác \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\)

Ta có: AB + AC = 8 cm

\[ \Rightarrow 0 \le AB{\rm{ }}.{\rm{ }}AC \le {\left( {\frac{{AB + AC}}{2}} \right)^2} = 16\] (BĐT Cauchy)

\({S_{\Delta ABC}} \le \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt 3 \)(cm²)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB = AC = 4 (cm).

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là \(4\sqrt 3 \)cm² khi AB = AC = 4 cm.

Lời giải

M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC.

⇒ MN // BC hay MN // HP ⇒ MNPH là hình thang (1)

Mặt khác: Tam giác vuông ABH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(HM = \frac{{AB}}{2} = MB\) ⇒ ∆MHB cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {MHB} = \widehat {MBH}\]

Mà \[\widehat {MBH} = \widehat {NPC}\] (hai góc đồng vị do NP //AB) \[ \Rightarrow \widehat {MHB} = \widehat {NPC}\]

\[ \Rightarrow {180^{\rm{o}}} - \widehat {MHB} = {180^{\rm{o}}} - \widehat {NPC}\]

Hay \[\widehat {MHP} = \widehat {NPH}\](2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNPH là hình thang cân.

Lời giải

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} \\\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MI} \end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {MI} } \right) = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \frac{{\overrightarrow {BC} }}{2}\]

\[ \Rightarrow 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \]

Lại có: \(\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{3}\)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)

Do đó: \(4\overrightarrow {BI} = 3\overrightarrow {BK} \) ⇒ B, I, K thẳng hàng.

Lời giải

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {{C_1}}\) 

Lại có: \(\widehat {ABC} + \widehat {{C_1}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra: \[\widehat {{C_1}} = 45^\circ \]

Vì ∆BCD vuông cân tại B nên \(\widehat D = \widehat {{C_2}}\)

Lại có: \(\widehat D + \widehat {{C_2}} = 90^\circ \)(tính chất tam giác vuông).

Suy ra: \[\widehat {{C_2}} = 45^\circ \]

\(\widehat {ACD} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)

⇒ AC ⊥ CD

Mà AC ⊥ AB (gt)

Suy ra: AB // CD

Vậy tứ giác ABCD là hình thang vuông.

Lời giải

Vì ABC vuông tại A và AH là đường cao nên ta có:

AH² = BH . HC ⇔ AH² = 4 . 9 = 36 ⇔ AH = 6 (cm).

Vì AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên ta có:

\[AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\left( {4 + 9} \right) = \frac{{13}}{2}\]

\[ \Rightarrow HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{13}}{2}} \right)}^2} - {6^2}} = \frac{5}{2}\]
\[ \Rightarrow {S_{AHM}} = \frac{1}{2}AH.HM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{5}{2} = \frac{{15}}{2}\left( {c{m^2}} \right)\].

Lời giải

Tổng số phần bằng nhau là : 3 + 7 =10 (phần)

Giá trị 1 phần là : 60 : 10 = 6 (tấn)

Số gạo tẻ có trong kho là : 6 × 7 = 42 (tấn)

Số gạo nếp có trong kho là: 6 × 3 = 18 (tấn)

Đáp số: 42 tấn gạo tẻ, 18 tấn gạo nếp

Lời giải

Lúc đầu, số sách ở ngăn một bằng \(\frac{2}{{2 + 3}} = \frac{2}{5}\) (tổng số sách ở cả hai ngăn).

Sau khi lấy ra ở mỗi ngăn 10 quyển sách thì số sách ngăn một bằng \(\frac{3}{{5 + 3}} = \frac{3}{8}\) (tổng số sách ở cả hai ngăn).

10 quyển sách bằng \(\frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{1}{{40}}\)  (tổng số sách ở cả hai ngăn).

Vậy lúc đầu tổng số sách ở cả hai ngăn là: \(10:\frac{1}{{40}} = 400\)(quyển)

Đáp số: 400 quyển.

Lời giải

Để lấy 5 quân mà được 4 chất khác nhau thì có số cách lấy là:

\(C_5^1C_{13}^1.C_4^1.C_{13}^1.C_3^1.C_{13}^1.C_2^1.C_{13}^1.C_1^1.C_{12}^1\)

Lời giải

Vì tháng 2 chỉ có 28 ngày hoặc 29 ngày mà lại có đến 5 ngày là thứ năm nên có 4 tuần kể từ thứ năm đầu đến thứ năm cuối.

Suy ra từ thứ năm đầu tiên đến thứ năm cuối cùng có số ngày là: 4 × 7 + 1 = 29 (ngày)

Như vậy 29 ngày kể từ thứ năm đầu tiên đến thứ năm cuối cùng phải trùng hoàn toàn với 29 ngày trong tháng nên ngày thứ năm đầu tiên của tháng đó là mùng 1 và ngày 29 tháng đó cũng là thứ năm.

Do đó ngày chủ nhật đầu tiên của tháng đó là ngày mùng 4. Các ngày chủ nhật của tháng đó là: 04 ; 11 ; 18 ; 25.

Lời giải

ĐKXĐ: x ≥ 0

Ta có: \(x - 2\sqrt x + 3 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\)

\( \Rightarrow Q = \frac{1}{{x - 2\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{2}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy GTLN của Q là \(\frac{1}{2}\) khi x = 1.

Lời giải

Ta có: \[{x^2}\; - 2\sqrt 3 x + 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2}\; - 2\sqrt 3 x + 3 - 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} = 1\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \sqrt 3 = 1\\x - \sqrt 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \\x = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Lời giải

Theo bài ta có \(\left( {xy + 1} \right)\left( {xz + 1} \right)\left( {yz + 1} \right) \vdots xyz\)

\( \Rightarrow \;\left( {{x^2}{y^2}{z^2} + {x^2}yz + x{y^2}z + xy{z^2} + xy + xz + yz + 1} \right):xyz\)

\( \Rightarrow \left( {xy + xz + yz + 1} \right){\rm{\;}} \vdots xyz\)

Đặt \(xy + xz + yz + 1 = nxyz\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\)

Do đó \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} = n\)

Vai trò x, y, z như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(x \ge y \ge z \ge 1\).

Ta có \(\frac{1}{{xyz}} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{z} \le 1\). Vậy \(n \le 4\).

Do đó \(n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

Trường hợp 1: Xét \(n = 1\). Ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} = 1\)

Ta có \(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 4\)

Mà z > 1. Vậy \(z \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)

• Với z = 2 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{2} + \frac{1}{{2xy}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 6\)

Mà y > 1 nên \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).

Xét \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\) được y = 3; x = 7.

• Với z = 3 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3xy}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 4\)

Mà \(y \ge z = 3\) nên \(y \in \left\{ {3;4} \right\}\)

Xét \({\rm{y}} \in \left\{ {3;4} \right\}\), ta có \({\rm{x}} \notin \mathbb{Z}\).

• Với z = 4 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{4{\rm{xy}}}} = \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{4xy}} < \frac{3}{4} \Rightarrow y < 4\)

Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 4\).

Trường hợp 2:  Xét n = 2 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 2\)

Ta có \(2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow {\rm{z}} \le 2 \Rightarrow {\rm{z}} \in \left\{ {1;2} \right\}\)

• Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} = 1\)

\( \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 3\) mà \(y \in \left\{ {2;3} \right\}\)

+) y = 2 thì x = 3;

+) y = 3 thì \(x \notin Z\)

• Với z = 2, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 2\)

Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 2\)

Trường hợp 3: Xét n = 3, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 3\)

\( \Rightarrow 3 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 1 \Rightarrow z = 1\)

Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} = 2\)

\( \Rightarrow 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le \frac{3}{2} \Rightarrow y = 1\).

Khi đó x = 2.

Trường hợp 4:  Xét n = 4, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} \le \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 4\)

Dấu '=' xảy ra có x = y = z = 1.

Kết luận: Các bộ số nguyên dương (x, y, z) cần tìm là (7; 3; 2); (3; 2; 1); (2; 1; 1); (1; 1; 1) và các hoán vị.

Lời giải

Ta thực hiện đặt tính như sau:

Để phép chia là phép chia hết thì số dư bằng 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 2a = 0\\9 - 3a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3\).

Lời giải

Ta có: \(\frac{{{x^6} - {y^6}}}{{{x^4} - {y^4} - {x^3}y + x{y^3}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^2} - {{\left( {{y^3}} \right)}^2}}}{{{x^3}\left( {x - y} \right) + {y^3}\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{x^3} - {y^3}} \right)}}{{\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{x - y}}\)

\( = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{x - y}}\)

\( = {x^2} + xy + {y^2}\).

Lời giải

Các tia có gốc là O và đi qua một trong 3 điểm A, B, C là: OA, OB, OC.

Vậy có 3 tia thỏa mãn yêu cầu.

Lời giải

12 người làm xong công việc trong 10 ngày

Vậy 1 người 10 ngày làm đc: \(\frac{1}{{12}}\) (công việc)

⇒ 1 người 1 ngày làm đc: \(\frac{1}{{120}}\) (công việc)

⇒ 1 người 8 ngày làm đc: \(8 \cdot \frac{1}{{120}} = \frac{8}{{120}} = \frac{1}{{15}}\) (công việc)

Vâỵ muốn làm xong công việc đó trong 8 ngày thì cần số người là:

\(1:\frac{1}{{15}} = 15\) (người).

Đáp số: 15 người

Lời giải

Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

AB² = BH.HC = 9.25 = 225

⇒ AB = 15 (cm)

AC² = CH.BC = 16.25 = 400

 ⇒ AC = 20 (cm)

Lại có: AH.BC = AB.AC \( \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\) (cm)

Vậy AB = 15 cm, AC = 20 cm, AH = 12 cm

Lời giải

Ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x} \right) = {x^2} + \sqrt {2005} - {x^2} = \sqrt {2005} \)

Mà theo bài cho ta có:

\(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2005} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } } \right) = \sqrt {2005} \)

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 2005} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } } \right) = \left( {x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } = \sqrt {{x^2} + 2005} - x\) (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(x + \sqrt {{x^2} + 2005} = \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } - y\) (2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta có:

\(x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } + y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } = \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } - y\)

\( \Leftrightarrow x + y = - x - y\)

\( \Leftrightarrow x + y = 0\).

Vậy x + y = 0.

Lời giải

Ta có: \(cot{\rm{ }}a = \frac{1}{{\tan a}};\,\,\,cot{\rm{ }}b = \frac{1}{{\tan b}}\)

\( \Rightarrow cot{\rm{ }}a--cot{\rm{ }}b{\rm{ }} = \frac{1}{{\tan a}} - \frac{1}{{\tan b}}\) (đpcm)

Lời giải

Với m = 0 hàm số không xác định

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{m^2}{x^2} + m - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{m^2} + \frac{{m - 1}}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 1}}{{\left| m \right|}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{m^2}{x^2} + m - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{m^2} - \frac{{m - 1}}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\left| m \right|}}\)

Suy ra đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang

Để đồ thị hàm số có 4 tiệm cận thì cần có thêm 2 tiệm cận đứng

⇒ m²x² + m – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow {x^2} = \frac{{1 - m}}{{{m^2}}}\)

Do x² > 0 ⇒ 1 – m > 0 ⇒ m < 1

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne 0\end{array} \right.\) thì đồ thị hàm số có 4 tiệm cận.