A là điểm có tung độ bằng 5 và A thuộc đường thẳng y = −3x + 2 nên ta có:

5 = −3x + 2 Û x = −1

Suy ra A(−1; 5) thuộc đường thẳng y = (k − 3)x – 4 nên ta có:

5 = (k − 3)(−1) – 4 ⇔ k = −6

Vậy k = −6 là giá trị cần tìm.

A là điểm có tung độ bằng 5 và A thuộc đường thẳng y = −3x+2 nên ta có:

5 = −3x+2 Û x = −1

Suy ra A(−1; 5) thuộc đường thẳngy = mx − 4 nên ta có:

5 = m(−1) – 4 Û m = −9

Vậy m = −9 là giá trị cần tìm.

Đặt f(x) =2x² − (2m + 1)x + m² − 2m + 2

Xét ∆ = −4m² + 20m − 15

+) Nếu \(\Delta \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \frac{{5 - \sqrt {10} }}{2}\\m \ge \frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra f(x) ≥ 0 với mọi x (loại)

+) Nếu \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{{5 - \sqrt {10} }}{2};\;\frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\)

Khi đó f(x) có hai nghiệm

\({x_1} = \frac{{2m + 1 - \sqrt \Delta }}{4},\;{x_2} = \frac{{2m + 1 + \sqrt \Delta }}{4}\;\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\;\)

Và f(x) ≤ 0 khi x₁ ≤ x ≤ x₂

Do đó yêu cầu bài toán

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le \frac{1}{2}\\{x_2} \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \le 2\sqrt \Delta \\7 - 2m \le \sqrt \Delta \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} \le 4\Delta \\{\left( {7 - 2m} \right)^2} \le \Delta \\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20{m^2} - 84m = 61 \le 0\\{m^2} - 6m + 8 \le 0\\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\)

Vậy \(2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\).

x² − (m − 2)x − m − 1 = 0

Δ=(m−2)²+4m+ 4 =m²+8> 0, ∀m

Þ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right.\)

(x₁−x₂)²−3x₁x₂= 21

Û(x₁+x₂)²− 7x₁x₂− 21 = 0

Û(m−2)²+7m+7− 21 =0

Ûm²+3m− 10 =0

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 5\end{array} \right.\)

Vậy m = 2 và m =−5 là các giá trị thỏa mãn.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

x² = 2x − m + 2

Û x² − 2x + m − 2 = 0

Để hai đồ thị hàm số chỉ có một điểm chung thì Δ¢ = 0

Û 1 − m + 2 = 0 Û m = 3

Vậy hoành độ giao điểm đó là nghiệm của phương trình

x² − 2x + 1 = 0 Û x = 1

Þ y = 1

Vậy tọa độ điểm chung đó là (1; 1).

a) Với m = 1 ta có: y = −x³ + 3x² − 4 (Cm)

TXĐ: D =ℝ

\[{\lim _{x \to \pm \infty }}y = \pm \infty \]

\(y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số nhận (1; −2) làm tâm đối xứng và đi qua hai điểm (0; −4) và (2; 0).

b) Ta có: y¢ = −3x² + 2(2m + 1)x − (m² − 3m + 2)

Để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y¢ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Suy ra m² − 3m + 2 < 0 Û 1 < m < 2

Vậy m Î (1; 2)

TXĐ: D =ℝ

Ta có y¢ = x² + 2mx − (6m + 9)

Để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁x₂ > 0

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + 6m + 9 > 0\\ - 6m - 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 3\\m < \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\]

Vậy \( - 3 \ne m < \frac{{ - 3}}{2}\) là các giá trị của m thỏa mãn.

Số tiền vốn là:

2160000 − 160000 = 2 000 000 (đồng)

Tỉ số phần trăm tiền lãi với tiền vốn là:

160 000 : 2 000 000 × 100 = 8%

Đáp số: 8%.

Tiền bán ứng:

100% + 8% = 108%

Tiền vốn là:

2160 000 : 108% = 2000 000 (đồng )

Tiền lãi là:

2160 000 − 2000 000 = 160 000 (đồng )

Đáp số: 160 000 đồng.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và kết hợp với giả thiết x + y + z = 3, ta có:

\[B = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + 3z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + 3x}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + 3y}}} \]

\( = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + \left( {x + y + z} \right)z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + \left( {x + y + z} \right)x}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + \left( {x + y + z} \right)y}}} \)

\( = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {z + x} \right)}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}} \)

\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}} + \frac{y}{{y + x}} + \frac{z}{{z + x}} + \frac{z}{{z + y}} + \frac{x}{{x + y}}} \right)\)

\[ = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{x + z}}{{x + z}} + \frac{{y + z}}{{y + z}} + \frac{{x + y}}{{x + y}}} \right) = \frac{3}{2}\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Vậy GTLN của B bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = y = z = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và kết hợp với giả thiết x + y + z = 3, ta có:

\(\frac{x}{{x + \sqrt {3x + yz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {3y + zx} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {3z + xy} }}\)

\( = \frac{x}{{x + \sqrt {x\left( {x + y + z} \right) + yz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {\left( {x + y + z} \right)y + zx} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {\left( {x + y + z} \right)z + xy} }}\)

\[ = \frac{x}{{x + \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\]

\( \le \frac{x}{{x + \sqrt {{{\left( {\sqrt {xy} + \sqrt {xz} } \right)}^2}} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {{{\left( {\sqrt {xy} + \sqrt {yz} } \right)}^2}} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {{{\left( {\sqrt {xz} + \sqrt {yz} } \right)}^2}} }}\)

\[ = \frac{x}{{x + \sqrt {xy} + \sqrt {xz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {xy} + \sqrt {yz} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {xz} + \sqrt {yz} }}\]

\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }}\]

\[ = \frac{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }} = 1\].

Vậy \(\frac{x}{{x + \sqrt {3x + yz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {3y + zx} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {3z + xy} }} \le 1\) (đpcm)

|x − 1| = 3x + 2

• TH1: x − 1 ≥ 0 Û x ≥ 1

x − 1 = 3x + 2

Û 3x − x = −1 − 2

Û 2x = −3

\( \Rightarrow x = - \frac{3}{2}\) (loại)

• TH2: x − 1 < 0 Û x < 1

−x + 1 = 3x + 2

Û 3x + x = 1 − 2

Û 4x = −1

\( \Rightarrow x = - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = - \frac{1}{4}\) là nghiệm của phương trình.

|x − 1| − 3x = 2

Û|x − 1| = 2 + 3x

• TH1: x − 1 ≥ 0 Þ x ≥ 1

x − 1 =2 + 3x

Û 3x − x = −1 − 2

Û 2x = −3

\( \Rightarrow x = - \frac{3}{2}\) (loại)

• TH2: x − 1 < 0 Þ x < 1

−x + 1 = 2 + 3x

Û 3x + x = 1 − 2

Û 4x = −1

\( \Rightarrow x = - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = - \frac{1}{4}\) là nghiệm của phương trình.

a) 483 + (−56) + 263 + (−64)

= 427 + 263 + (−64)

= 690 + (−64) = 262

b) 371 + (−531) + (−271) + 731

= (371 − 271) + (731 − 531)

= 100 + 200 = 300

c) 3251 − 243 − 3250

= 3251 − 3250 − 243

= 1 – 243 = −242

d) 279 − (145 + 279)

= 279 – 421 = −142.

\(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| + 2 - i = \frac{{\sqrt {10} }}{z}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \frac{{\sqrt {10} }}{z}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 4\left| z \right| + 4 + 4{\left| z \right|^2} - 4\left| z \right| + 1 = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)

Û 5|z|⁴ + 5|z|²− 10 = 0

Û |z| = 1.

Vì −9 Ï A nên suy ra {−2; 0; −9} không phải là tập hợp con của A.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có: Ư(9) = {1; 3; 9} và Ư(15)  = {1; 3; 5; 15}

Vậy ƯC(9, 15) = Ư(9) ∩ Ư(15)={1; 3}

Vậy ta chọn đáp án A.

Để hàm số y = cos 2x đồng biến thì

\(2x \in \left( {\pi + k2\pi ;\;2\pi + k2\pi } \right) \Rightarrow x \in \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\;\pi + k\pi } \right),\;k \in \mathbb{Z}\)

Vậy hàm số cos 2x đồng biến trên các khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\;\pi + k\pi } \right),\;k \in \mathbb{Z}\)

Để hàm số y = cos 2x nghịch biến thì

\(2x \in \left( {k2\pi ;\;\pi + k2\pi } \right) \Rightarrow x \in \left( {k\pi ;\;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),\;k \in \mathbb{Z}\).

Vậy hàm số cos 2x đồng biến trên các khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\;\pi + k\pi } \right),\;k \in \mathbb{Z}\).

Chiều dài thật khu đất đó là:

 6 × 1 000 = 6 000 (cm)

Chiều rộng thật khu đất đó là:

4 × 1 000 = 4 000 (cm)

Diện tích khu đất đó là:

6 000 × 4 000 = 24 000 000 (cm²)

Đổi: 24 000 000 cm² = 0,24 ha

Đáp số: 0,24 ha.

Chiều dài thật mảnh đất đó là:

 8 × 1 000 = 8 000 (cm)

Chiều rộng thật mảnh đất đó là:

6 × 1 000 = 6 000 (cm)

Diện tích mảnh đất đó là:

8 000 × 6 000 = 48 000 000 (cm²)

Đổi: 48 000 000 cm² = 0,48 ha

 Đáp số: 0,48 ha.

f(x) = −x² − 2(m − 1)x + 2m − 1

Xét ∆’ = (m − 1)²− (−1)(2m − 1) = m² ≥ 0, "x Îℝ

• TH1: ∆’= 0 Þ m = 0

Khi đó f(x) = −x² + 2x − 1 = −(x − 1)² ≤ 0, "x Îℝ

Vậy với m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

• TH2: ∆’ > 0 Þ m ≠ 0

Khi đó f(x) = 0 cho hai nghiệm a, b

Ta có BBT của f(x) = 0 như sau:

Để f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) \le 0\\f\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \le 0\\0 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\)

Vậy \(m \le \frac{1}{2}\) là giá trị thỏa mãn.

(m² − 1)x² − 8mx + 9 − m² ≥ 0 (1)

+) \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)

• Với m = 1, bất phương trình có dạng −8x + 8 ≥ 0 Û x ≤ 1.

Do đó m = 1 không thỏa mãn.

• Với m = −1, bất phương trình có dạng 8x + 8 ≥ 0 Û x ≥ −1.

Do đó m = −1 là một giá trị cần tìm.

+) m² − 1 ≠ 0 Û m ≠ ±1

Khi đó vế trái là tam thức bậc hai có ’= m⁴+6m²+ 9 > 0, "mÎℝ

Vaạy nên tam thức luôn có hai nghiệm a < b

Suy ra mọi x Î [0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình:

(m² − 1)x² − 8mx + 9 − m² ≥ 0 khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 > 0\\{x_1} < {x_2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 > 0\\{x_1} + {x_2} = \frac{{8m}}{{{m^2} - 1}} < 0\\{x_1}{x_2} = \frac{{9 - {m^2}}}{{{m^2} - 1}} \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m < - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - 3 \le m < - 1\\1 < m \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m < - 1\)

Từ đó suy ra m Î [−3; −1].

Tổng 3 số là:

(182+176+188): 2 = 273

Số thứ nhất là:

273 − 176 = 97

Số thứ 2 là:

182 − 97 = 85

Số thứ 3 là:

176 − 85 = 91

Đáp số: 97, 85 và 91.

Tổng của 3 số là:

(18,36 + 21,64 + 20) : 2 = 30

Đáp số: 30.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB\,.\,AC\,.\,\cos \widehat A\]

= 2² + 1² − 2.2.1.cos 60°= 3

\[ \Rightarrow BC = \sqrt 3 \].

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB\,.\,AC\,.\,\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}\,.\,a\,.\,a\sqrt 3 \,.\,\sin 60^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}\).

\(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \)

\( \Leftrightarrow \frac{P}{{abc}} = \frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 16} }}{c}\)

\( \Leftrightarrow \frac{P}{{1152}} = \frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 16} }}{c}\)

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {a - 1} \le a - 1 + 1 = a\\2\sqrt {9\left( {b - 9} \right)} \le b - 9 + 9 = b\\2\sqrt {16\left( {c - 16} \right)} \le c - 16 + 16 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} \le \frac{1}{2}\\\frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} \le \frac{1}{6}\\\frac{{\sqrt {c - 16} }}{c} \le \frac{1}{8}\end{array} \right.\)

Khi đó \(\frac{P}{{1152}} = \frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 16} }}{c} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{{19}}{{24}}\)

Û P ≤ 912

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b - 9 = 9\\c - 16 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 18\\c = 32\end{array} \right.\)

Vậy GTLN của P là 912 khi (a; b; c) = (1; 18; 32).

a) B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰

= 3(1 + 3 + 3² + ... + 3¹¹⁹)

Vì 3 ⋮ 3 Þ3(1 + 3 + 3² + ... + 3¹¹⁹) ⋮ 3

Vậy suy ra B ⋮ 3

b) B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰

= (3 + 3²) + (3³ + 3⁴) +... + (3¹¹⁹ + 3¹²⁰)

= 3(1 + 3) + 3³(1 + 3) +... + 3¹¹⁹(1 + 3)

= 3.4 + 3³.4 + ... + 3¹¹⁹.4

= 4(3 + 3³ + ... + 3¹¹⁹)

Vì 4 ⋮ 4 Þ 4(3 + 3³ + ... + 3¹¹⁹) ⋮ 4

Vậy suy ra B ⋮ 4

c) B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰

= (3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶) +... + (3¹¹⁸ + 3¹¹⁹ + 3¹²⁰)

= 3(1 + 3 + 3²) + 3⁴(1 + 3 + 3²) + ... + 3¹¹⁸(1 + 3 + 3²)

= 3.13 + ... + 3¹¹⁸.13

= 13(3 + 3⁴ + ... + 3¹¹⁸)

Vì 13 ⋮ 13 nên 13(3 + 3⁴ + ... + 3¹¹⁸) ⋮ 13

Vậy suy ra B ⋮ 13

B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰

= (3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶) +... + (3¹¹⁸ + 3¹¹⁹ + 3¹²⁰)

= 3(1 + 3 + 3²) + 3⁴(1 + 3 + 3²) + ... + 3¹¹⁸(1 + 3 + 3²)

= 3.13 + ... + 3¹¹⁸.13

= 13(3 + 3⁴ + ... + 3¹¹⁸)

Vì 13 ⋮ 13 nên 13(3 + 3⁴ + ... + 3¹¹⁸) ⋮ 13

Vậy suy ra B ⋮ 13

a) Ta có: x² + 2x + 3 = (x² + 2x + 1) + 2

= (x + 1)² + 2

Vì (x + 1)² ≥ 0, " x Îℝ

Suy ra (x + 1)² + 2 ≥ 2, " x Îℝ

Vậy x² + 2x + 3 luôn dương với mọi x

b) Ta có: −x² + 4x − 5 = −(x² − 4x + 4) − 1

= −(x − 2)² − 1

Vì (x − 2)² ≥ 0, " x Îℝ

Suy ra −(x − 2)² ≤ 0, " x Îℝ

Þ−(x − 2)² − 1 ≤ −1, " x Îℝ

Vậy −x² + 4x − 5 luôn âm với mọi x.

Ta có: 4x − 10 − x²= −(x² − 4x + 4) − 6

= −(x − 2)² − 6

Vì (x − 2)² ≥ 0, " x Îℝ

Suy ra −(x − 2)² ≤ 0, " x Îℝ

Þ−(x − 2)² − 6 ≤ −6, " x Îℝ

Vậy 4x − 10 − x² luôn luôn âm với mọi x.

Ta có: \({\cot ^2}x - {\tan ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\( = \frac{{{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^2}x\,.\,{{\cos }^2}x}} = \frac{{4\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0\)

Lúc đó: \(\frac{{{{\cot }^2}x - {{\tan }^2}x}}{{\cos 2x}} = 16\left( {1 + \cos 4x} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} = 16\left( {1 + \cos 4x} \right)\]

Û 1 = 4(1 + cos 4x)sin² 2x

Û 1 = 2(1 + cos 4x)(1 − cos 4x)

Û 1 = 2(1 – cos² 4x)

Û 1 = 2sin² 4x

Û 1 = 1 – cos 8x

Ûcos 8x = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8},\;k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8},\;k \in \mathbb{Z}\).

Ta có: \({\cot ^2}x - {\tan ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\( = \frac{{{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^2}x\,.\,{{\cos }^2}x}} = \frac{{4\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0\).

Lúc đó: cot² x – tan² x = 16cos 2x

\( \Leftrightarrow \frac{{4\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}} = 16\cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}} - 4} \right) = 0\)

+) TH1: cos 2x = 0

\( \Rightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\;k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn)

+) TH2: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}} - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = \pm \frac{1}{2}\)

• Với \(\sin 2x = \frac{1}{2}\), ta có:

\(\left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\2x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

- Với \(\sin 2x = - \frac{1}{2}\), ta có:

\(\left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy các họ nghiệm của phương trình là:

\(x \in \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};\; \pm \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\;\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;\;\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

\(P = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {2y + \frac{1}{y}} \right)^2} \ge \frac{{{{\left( {2x + \frac{1}{x} + 2y + \frac{1}{y}} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{{{\left[ {2\left( {x + y} \right) + \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)} \right]}^2}}}{2} \ge \frac{{{{\left( {2 + \frac{4}{{x + y}}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {2 + 4} \right)}^2}}}{2} = 18\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

Vậy GTNN của P = 18 khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

Ta có: \(M = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{2x + y}} = \frac{{2x + y}}{{xy}} + \frac{3}{{2x + y}}\)

\( = \frac{{2x + y}}{2} + \frac{3}{{2x + y}} = \left( {\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} + \frac{3}{{2x + y}}} \right) + \frac{5}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

\(\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} + \frac{3}{{2x + y}} \ge 2\sqrt {\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2}\,.\frac{3}{{2x + y}}} = \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\frac{3}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} = \frac{3}{{2x + y}} \Rightarrow 2x + y = 4\) (do x; y > 0)

Lại có: \(\frac{5}{8}\,.\,\frac{{2x + y}}{2} \ge \frac{5}{8}\sqrt {2xy} = \frac{5}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2x = y và xy = 2

Do đó: \(M \ge \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 1; y = 2

Vậy GTNN của M là \(\frac{{11}}{4}\) khi x = 1; y = 2.

B = 2x² + 3y² + 4xy − 8x − 2y + 18

Þ 2B = 4x² +  6y² + 8xy − 16x − 4y + 36

= (4x² + 8xy + 4y²) + 2y² − 16x − 4y + 36

= [(2x + 2y)² − 2(2x + 2y).4 + 16] + (2y² + 12y + 18) + 2

= (2x + 2y − 2)² + 2(y² + 6y + 9) + 2

= (2x + 2y − 2)² + 2(y + 3)² + 2 ≥ 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 2 = 0\\y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 3\end{array} \right.\]

Vậy GTNN của B là 2 khi x = 4; y =−3.

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(0; 1).

b) Gỉả sử điểm D có tọa độ là D(x_D; y_D)

Vì C là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3} = 2\\\frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 + 2 + {x_D} = 6\\1 + 4 + {y_D} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)

Vậy điểm D có tọa độ là D(8; −11).

c) Gỉả sử điểm D có tọa độ là E(x_E; y_E).

Để tứ giác ABCE là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \)

\[ \Leftrightarrow \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {2 - {x_E};\; - 2 - {y_E}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - {x_E} = 6\\ - 2 - {y_E} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.\)

Vậy điểm E có tọa độ là E(−4; −5).

Để 3 điểm A B, C tạo thành tam giác thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) phải không cùng phương.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {6;\;3} \right)\)

\(\overrightarrow {AC} = \left( {2 + 4;\; - 2 - 1} \right) = \left( {6;\; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{6}{6} \ne \frac{3}{{ - 3}}\;\left( {1 \ne - 1} \right)\).

Vậy 3 điểm A B, C tạo thành tam giác.

Do x; y; z ≥ 0 và x+y+ z = 1 nên suy ra 0 ≤ x; y; z ≤ 1

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le x\\{y^2} \le y\\{z^2} \le z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + x + 1 \le {x^2} + 2x + 1\\2{y^2} + y + 1 \le {y^2} + 2y + 1\\2{z^2} + z + 1 \le {z^2} + 2z + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)

\( \le \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {z + 1} \right)}^2}} \)

= x + y + z + 3 = 4

Vậy P_max = 4 khi (x; y; z) = (0; 0; 1) và các hoán vị.

Vì x² + y² + xy = 1 nên \(A = \frac{{{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + xy}}\)

• Với y = 0 Þ A = 1

• Với y ≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của vế phải cho y²

Suy ra \[A = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - \frac{x}{y} + 2}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + \frac{x}{y} + 1}}\]

Đặt \(\frac{x}{y} = a \Rightarrow A = \frac{{{a^2} - a + 2}}{{{a^2} + a + 1}}\)

Û A.a² + A.a + A = a² − a + 2

Û (A − 1).a² + (A + 1).a + A − 2 = 0

Ta có: ∆ = (A + 1)²− 4(A − 1)(A − 2) ≥0

Û −3A² + 14A − 7 ≥ 0

\( \Rightarrow \frac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3} \le A \le \frac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{A_{\max }} = \frac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3}\\{A_{\min }} = \frac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).

a) I là điểm trên cạnh BC mà: \[2CI = 3BI \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{2}{3}\]

\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI + BI}} = \frac{2}{{3 + 2}} \Rightarrow \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow BI = \frac{2}{5}BC\)

Tương tự ta có: \( \Rightarrow IC = \frac{3}{5}BC\)

J là điểm trên BC kéo dài: \[5JB = 2JC \Rightarrow \frac{{JB}}{{JC}} = \frac{2}{5}\]

\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{JC - JB}} = \frac{2}{{5 - 2}} \Rightarrow \frac{{JB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow JB = \frac{2}{3}BC\)và\(BC = \frac{3}{5}JC\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JB} \)

\( = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {JB} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \) (1)

Lại có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JC} \)

\( = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}{{25}}\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}{{25}}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} + \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \) (2)

Nhân 2 vế của (1) với \(\frac{5}{2}\) rồi trừ cho vế với vế của (2) ta được:

\(\frac{5}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \frac{5}{2}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} } \right) - \left( {\frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\)

\( = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} + \frac{{15}}{{16}}\overrightarrow {AJ} - \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} + \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

b) \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\,.\,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\]

\[ = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \]

I là điểm trên cạnh BC mà: \[2CI = 3BI \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{2}{3}\]

\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI + BI}} = \frac{2}{{3 + 2}} \Rightarrow \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow BI = \frac{2}{5}BC\)

Tương tự ta có: \( \Rightarrow IC = \frac{3}{5}BC\)

J là điểm trên BC kéo dài: \[5JB = 2JC \Rightarrow \frac{{JB}}{{JC}} = \frac{2}{5}\]

\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{JC - JB}} = \frac{2}{{5 - 2}} \Rightarrow \frac{{JB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow JB = \frac{2}{3}BC\)và\(BC = \frac{3}{5}JC\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JB} \)

\( = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {JB} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \) (1)

Lại có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JC} \)

\( = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}{{25}}\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}{{25}}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} + \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \) (2)

Nhân 2 vế của (1) với \(\frac{3}{2}\) rồi cộng cho vế với vế của (2) ta được:

\(\frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\)

\( = \frac{{15}}{{16}}\overrightarrow {AI} + \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{2}\overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

Buộc 3 chữ số 1, 2, 3 thành 1 cụm, đặt là A

Hoán vị các chữ số 1, 2, 3 cho nhau ta được 3! = 6 khả năng xảy ra của A

Có 3 cách chọn vị trí cho A trong \(\overline {abcde} \)

Sau khi chọn xong vị trí cho A, 2 chữ số còn lại có \(A_7^2 = 42\)cách chọn

Như vậy, sẽ có 3.6.42 = 756 số được tạo thành tính cả trường hợp a = 0.

Xét a = 0: 

Khi đó, ta có 2 vị trí cho A, và mỗi vị trí có 6 khả năng xảy ra của A (Hoán vị 1, 2, 3)

Chữ số còn lại có 6 cách chọn

Vậy nếu a = 0 thì sẽ có 72 số được tạo thành.

Vậy, số số tự nhiên có 5 chữ số (a khác 0) thỏa mãn yêu cầu bài toán: 756 − 72 = 684 số tự nhiên.

Gọi chữ số cần tìm là \(\overline {abc} \) (a ≠ 0)

Tổng các chữ số là chẵn khi cả 3 số đều chẵn hoặc 1 số chẵn và 2 số lẻ

TH1: cả 3 số đều chẵn.

Ta thấy a có 4 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 3 cách chọn 

Suy ra có 4.4.3 = 48 (cách)

TH2: 2 số lẻ và 1 số chẵn.

• Nếu a chẵn thì a có 4 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn 

Suy ra có 4.5.4 = 80 (cách)

• Nếu a lẻ thì a có 5 cách, b và c lần lượt có (4 . 5 + 5 . 4) cách 

Suy ra có 5(4 . 5 + 5 . 4) = 200 (cách).

Tổng cộng có: 48 + 80 + 200 = 328 số thỏa mãn.

Gỉa sử số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \) (a ≠ 0)

Khi đó c ∈ {0; 2; 4; 6; 8}

+) Nếu c = 0 có 1 cách chọn

a có 9 cách chọn

b có 8 cách chọn

Suy ra có: 1.9.8 = 72 (số)

+) Nếu c ∈ {2; 4; 6; 8} có 4 cách chọn

a có 8 cách chọn

b có 8 cách chọn

Suy ra có : 4.8.8 = 256 (số)

Vậy số số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là:

72 + 256 = 328 (số)

Ta có: \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1 \Rightarrow y = m\,.\,{1^2} - 2m\,.\,1 - 3m - 2 = - 4m - 2\)

Đỉnh của parabol là I(1; −4m – 2)

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −10 thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{y_I} = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 = - 10\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

a) 357,32 × 0,34 = 35,732 × 3,4;

Vì 357,32 × 0,34 = 35,732 × 10 × 0,34 = 35,732 × 3,4.

b) 491,5× 0,05 = 4,915 × 5;

Vì 491,5× 0,05 = 4,915 × 100 ×0,05 = 4,915 × 5

Ta có: \(\frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6} \ne \frac{1}{{ - 10}}\).

Suy ra hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Xét ba trường hợp:

a) C = M

Ta có: MA = MB nên CA = CB

b) C nằm giữa A và M.

Do C nằm giữa A và M nên CA < MA mà MA = MB nên CA < MB ()

Mặt khác M nằm giữa C và B nên MB < CB (2)

Từ (1) và (2) ta có CA < CB.

c) C nằm giữa M và B

Do C nằm giữa M và B nên CB < MB mà MA = MB nên CB < MA (3)

Mặt khác M nằm giữa A và C nên MA < CA (4)

Từ (3) và (4) ta có: CB < CA.

Vậy nếu điểm C nằm trên đoạn thẳng MA thì ta luôn có CA ≤ CB.

TXĐ: x ≥ 0

\[\sqrt {x + 1}  + 1 = 4{x^2} + \sqrt {3x} \]

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - \sqrt {3x} = 4{x^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1 + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }}} \right) = 0\)

Do x ≥ 0 nên suy ra \(2x + 1 + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} > 0\)

Vậy phương trình trên có nghiệm 2x − 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình.

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b - c = x\\b + c - a = y\\c + a - b = z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2b\\y + z = 2c\\z + x = 2a\end{array} \right.\)

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên x; y; z > 0

Ta có: \[A = \frac{{ab}}{{a + b - c}} + \frac{{bc}}{{b + c - a}} + \frac{{ca}}{{c + a - b}}\]

\[ \Rightarrow 4A = \frac{{2a\,.\,2b}}{{a + b - c}} + \frac{{2b\,.\,2c}}{{b + c - a}} + \frac{{2c\,.\,2a}}{{c + a - b}}\]

\[ = \frac{{\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)}}{x} + \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}{y} + \frac{{\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}{z}\]

\[ = 3\left( {x + y + z} \right) + \left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{xy}}{z}} \right)\]

\[ \ge 3\left( {x + y + z} \right) + \frac{{\left( {x + y + z} \right)xyz}}{{xyz}}\]

= 4(x + y + z) = 4(a + b + c)

Do a; b; c > 0 nên suy ra A ≥ a + b + c (đpcm).

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}b + c - a = x\\a + c - b = y\\a + b - c = z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2c\\y + z = 2a\\z + x = 2b\end{array} \right.\)

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên x, y, z > 0

Ta có:

\[A = \frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}}\]

\[ \Rightarrow 2A = \frac{{2a}}{{b + c - a}} + \frac{{2b}}{{a + c - b}} + \frac{{2c}}{{a + b - c}}\]

\[ = \frac{{y + z}}{x} + \frac{{z + x}}{y} + \frac{{x + y}}{z}\]

\[ = \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}\]

\[ = \left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{z}} \right) + \left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right)\]

Dễ chứng minh \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}\,.\,\frac{b}{a}} = 2\;\left( {a;\;b > 0} \right)\) (BĐT AG – GM)

\( \Rightarrow 2A = \left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{z}} \right) + \left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) \ge 2 + 2 + 2 = 6\)

\( \Rightarrow A = \frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\)(đpcm).

Chiều rộng của thửa ruộng là:

\[60:\frac{3}{2} = 40\;\left( m \right)\]

Diện tích của thửa ruộng là:

60 × 40 = 2 400 (m²)

Trên cả thửa ruộng thu hoạch được là:

2400 : 100 × 50 = 1 200 (kg) = 12 (tạ)

Đáp số:12 tạ thóc

Chiều rộng của thửa ruộng là:

\[60 \times \frac{2}{3} = 40\;\left( m \right)\]

Diện tích của thửa ruộng là:

60 × 40 = 2 400 (m²)

Trên cả thửa ruộng thu hoạch được là:

2400 : 100 × 50 = 1 200 (kg) = 12 (tạ)

Đáp số: 1 200 kg thóc

• Bước 1: Tìm số lượng tất cả các số được tạo bởi bao gồm trường hợp chữ số 0 ở đầu

Ta có:

Số cách sắp xếp vị trí cho 3 chữ số 4 là: \[C_7^3 = 35\]

Số cách sắp xếp vị trí cho 4 chữa số 0,1,2,3 là: \(P_4^4 = 4! = 24\)

Suy ra có 35.24 = 840 (số)

• Bước 2: Tìm số lượng số có chữ số 0 ở đầu

Ta có:

Số cách sắp xếp vị trí cho 3 chữ số 4 ở 6 vị trí còn lại là: \[C_6^3 = 20\]

Số cách sắp xếp vị trí cho 3 chữa số 1, 2, 3 ở 3 vị trí còn lại là:

\(P_3^3 = 3! = 6\)

Suy ra có: 20.6 = 120 (số)

Vậy số lượng số cần tìm bằng: 

840 – 120 = 720 (số)

Xếp số vào 8 ô trống thỏa yêu cầu Đề bài.

Bước 1: Chọn 3 ô trong 8 ô để xếp 3 chữ số 1, có \(C_8^3\) cách.

Bước 2: Chọn 2 ô trong 5 ô còn lại để xếp 2 chữ số 4, có \(C_5^2\) cách.

Bước 3: Xếp 3 chữ số số còn lại vào 3 ô còn lại, có 3! cách.

Vậy có \[C_8^3\,.\,C_5^2\,.\,3!\] số thỏa yêu cầu, nhưng có những số có chữ số 0 đứng vị trí đầu tiên.

Trường hợp số 0 ở ô thứ nhất.

Bước 1: Chọn 3 ô trong 7 ô còn lại, xếp 3 chữ số 1, có \(C_7^3\) cách.

Bước 2: Chọn 2 ô trong 4 ô còn lại, xếp 2 chữ số 4, có \(C_4^2\) cách.

Bước 3: Xếp hai chữ số còn lại vào 2 ô còn lại, có 2! cách.

Vậy có: \[C_7^3\,.\,C_4^2\,.\,3!\] số mà chữ số 0 ở vị trí đầu tiên.

Kết luận có: \[C_8^3\,.\,C_5^2\,.\,3! - C_7^3\,.\,C_4^2\,.\,3! = 2940\] số thỏa yêu cầu.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta có: 2^{x + 1} − 2^x = 32

Û 2^x(2 – 1) = 32

Û 2^x = 32

Û 2^x = 2⁵

Û x = 5

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình.

Ta có: 2^{2x + 1} = 32

Û 2^{2x + 1} = 2⁵

Û 2x + 1 = 5

Û x = 2

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.