Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.

Xét các tam giác ABC cân tại A có cùng diện tích S. Kẻ đường cao AH . Đặt $\widehat{BAC}$  = a

Tam giác AHC vuông tại H, ta có :

$\widehat{HAC}=\frac{\alpha }{2}$

AH = HC .cotg $\frac{\alpha }{2}$  =$\frac{1}{2}$ BC.cotg $\frac{\alpha }{2}$

Do đó : S = $\frac{1}{2}$ BC.AH = $\frac{1}{2}$ BC.$\frac{1}{2}$ BC.cotg $\frac{\alpha }{2}$  =$\frac{1}{4}$ BC²cotg $\frac{\alpha }{2}$

$\Rightarrow$ BC = $\sqrt{\frac{4S}{\cot g\frac{\alpha }{2}}}=2\sqrt{S.\mathrm{t}g\frac{\alpha }{2}}$

Do S không đổi nên :

BC nhỏ nhất $\iff$ tg $\frac{\alpha }{2}$ nhỏ nhất $\iff$ $\frac{\alpha }{2}$  nhỏ nhất $\iff$ a nhỏ nhất $\iff$  $\widehat{BAC}$ nhỏ nhất