Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc $\hat{K A M}$ lớn nhất .

( Cho công thức biến đổi tan( x +y )= $\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y}$ )

Xem lời giải

Giải bởi Vietjack

Đặt $\hat{B A K} = x, \hat{D A M} = y$ ( x + y < 90⁰ )
$\hat{K A M}$ lớn nhất $\Leftrightarrow$ $\hat{B A K} + \hat{D A M}$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow$ x + y nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ tan (x + y) nhỏ nhất

Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)

tan x = $\frac{B K}{A B} = \frac{B K}{B C} . \frac{B C}{A B} = \frac{4 m}{5}$

tan y = $\frac{D M}{A D} = \frac{D M}{D C} . \frac{D C}{A D} = \frac{1}{5 m}$

tan( x +y )= $\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y} = (\frac{4 m}{5} + \frac{1}{5 m}) : (1 - \frac{4 m}{5} . \frac{1}{5 m}) = \frac{25}{21} . (\frac{4 m}{5} + \frac{1}{5 m})$

tan (x + y) nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ $\frac{4 m}{5} + \frac{1}{5 m}$ nhỏ nhất

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{4 m}{5} + \frac{1}{5 m}$ ≥ $2 \sqrt{\frac{4 m}{5} . \frac{1}{5 m}} = \frac{4}{5}$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ $\frac{4 m}{5} = \frac{1}{5 m}$ $\Leftrightarrow$ m = $\frac{1}{2}$

Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m = $\frac{1}{2}$

Do đó $\hat{K A M}$ lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1a

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

Xem đáp án » 01/11/2022 92

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »