Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (ỊK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 30⁰. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình bên. Tính f(2).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh $SA=a\sqrt{15}$. Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-3t\\ z=-3+5t\end{array}\right.$. Phương trình chính tắc của d là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in (-10;10)$ để $f\left(\sqrt{x^2+2x+10}\right)-3=m$ có nghiệm?

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2-2x}<27$ là:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0. Biết${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx =\frac{9}{2} và {\int }_0^{1}f\text{'}\left(x\right)\cos \frac{\mathrm{\pi x}}{2}dx=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$. Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng.

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi V(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Biết rằng V'(t)=at²+bt và ban đầu bể không có nước, sau 5 giây thể tích nước trong bể là 15 m³, sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 110 m³. Thể tích nước bơm được sau 20 giây bằng:

Thể tích khối lập phương tăng thêm bao nhiêu lần nếu độ dài cạnh của nó tăng gấp đôi?

Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=20 cm. Gọi $2\alpha$ là góc ở đỉnh của hình nón với $\tan \alpha =\frac{3}{4}$. Độ dài đường sinh của hình nón là:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=16$ và các điểm A(1;0;2); B(-1;2;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax+by+cz+d=0. Tính T=a+b+c

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$. Hình chiếu của d trên (P) có phương trình là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{1}{4}{x}^4-\frac{19}{2}{x}^2+30x+m\right|$ trên đoạn [0;2] đạt giá trị nhỏ nhất?

Cho hình trụ tròn xoay có thiết diện qua trục là hình vuông có diện tích 4a². Thể tích khối trụ đã cho là: