Với x ≠ y, hãy viết phân thức $\frac{1}{x-y}$ dưới dạng phân thức có tử là x² - y²?

1. Tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

                                      $\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$(M là một đa thức khác đa thức 0).

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

                                      $\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$(N là một đa thức khác đa thức 0).

Ví dụ. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

a)$\frac{5x^2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{5x^2}{x+2}$ ;

b)$\frac{12x}{5y}=\frac{-12x}{-5y}$ .

Hướng dẫn giải:

a) Ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{5x^2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ cho đa thức x – 2, ta có:

$\frac{5x^2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{5x^2\left(x-2\right):\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right):\left(x-2\right)}=\frac{5x^2}{x+2}$.

Vậy $\frac{5x^2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{5x^2}{x+2}$ .

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{12x}{5y}$ với (– 1) ta được:

$\frac{12x}{5y}=\frac{12x.\left(-1\right)}{5y.\left(-1\right)}=\frac{-12x}{-5y}$.$\frac{3-2x}{7-2x^3}=\frac{-\left(3-2x\right)}{-\left(7-2x^3\right)}=\frac{-3+2x}{-7+2x^3}=\frac{2x-3}{2x^3-7}$

Vậy $\frac{12x}{5y}=\frac{-12x}{-5y}$ .

2. Quy tắc đổi dấu

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì nhận được phân thức mới bằng phân thức đã cho:

                                      $\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$.

Ví dụ. Dùng quy tắc đổi dấu điền đa thức thích hợp vào chỗ chấm trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{5x-2y}{7-x}=\frac{2y-5x}{\mathrm{...}}$;

b) $\frac{3-2x}{7-2x^3}=\frac{\mathrm{...}}{2x^3-7}$.

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng quy tắc đổi dấu ta có:

$\frac{5x-2y}{7-x}=\frac{-\left(5x-2y\right)}{-\left(7-x\right)}=\frac{-5x+2y}{-7+x}=\frac{2y-5x}{x-7}$.

Vậy đa thức cần điền vào chỗ chấm là x – 7.

b) Áp dụng quy tắc đổi dấu ta có:

$\frac{3-2x}{7-2x^3}=\frac{-\left(3-2x\right)}{-\left(7-2x^3\right)}=\frac{-3+2x}{-7+2x^3}=\frac{2x-3}{2x^3-7}$.

Vậy đa thức cần điền vào chỗ chấm là 2x – 3.