Một trong các họ nghiệm của phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ là:

1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

$\begin{array}{l}x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z};\\ x=\pi -\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện:  $\left\{\begin{array}{c}\frac{-\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha =a\end{array}\right.$thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

$\begin{array}{l}x=\arcsin a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z};\\ x=\pi -\arcsin a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\end{array}$

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

 $x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi$ và $x=\pi -\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát:$\sin f\left(x\right)=\sin g\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\\ f\left(x\right)=\pi -g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\end{array}\right.$ .

b) Phương trình sinx = sinβ$°$ có các nghiệm là:

x = β$°$ + k.360$°$ và x = 180$°$ – β$°$ + k.360$°$ .

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = 0:  Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

- Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) $\sin x=\frac{2}{3}$.

Lời giải:

a) Vì  $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ nên $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Ta có: $\sin x=\frac{2}{3}$ khi $x=\arcsin \frac{2}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

$x=\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ và $x=\pi -\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

2. Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left|\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left|\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là:

$x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát: cosf(x) = cosg(x) $\iff f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}}=\pm g\left(x\right)+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình cos x= cosβ0 có các nghiệm là $x=\pm {\beta }^0+\text{\hspace{0.17em}}k{360}^0;k\in \mathbb{Z}$.

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}0\le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha =a\end{array}\right.$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x=\pm \arccos a\text{\hspace{0.17em}}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) $cosx=cos\frac{\pi }{5}$;

b) $\text{cos\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x = \hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{2}}{2}$;

c) $\text{cos\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x = \hspace{0.17em}}\frac{3}{7}$.

Lời giải:

a) $cosx=cos\frac{\pi }{5}\iff x=\pm \frac{\pi }{5}+\text{}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ .

b) $\text{cos\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x = \hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vì  $\frac{\sqrt{2}}{2}=c\text{os\hspace{0.17em}}\frac{\pi }{4}$nên :

$\text{cos\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x = \hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{2}}{2}$$\iff c\text{os\hspace{0.17em}}x=c\text{os\hspace{0.17em}}\frac{\pi }{4}\iff x=\pm \frac{\pi }{4}+\text{\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

c) $\text{cos\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x = \hspace{0.17em}}\frac{3}{7}\iff \text{x =}\pm \text{ ar}cc\text{os \hspace{0.17em}}\frac{3}{7}+\text{}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

3. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là:

$x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình tanx = tanβ$°$ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

a) $\tan x=\tan \frac{2\pi }{5}$;

b) $\tan x=\frac{-1}{8}$;

c) $\tan 2x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải:
a) $\tan x=\tan \frac{2\pi }{5}\iff x=\frac{2\pi }{5}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) $\tan x=\frac{-1}{8}$

$\iff x=\arctan \frac{-1}{8}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

c) $\tan 2x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\begin{array}{l}\iff \tan 2x=\tan \frac{\pi }{6}\\ \iff 2x=\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\\ \iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})\end{array}$

4. Phương trình cotx = a

Điều kiện xác định của phương trình $x\ne k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arccota (đọc là ac– côtang – a; nghĩa là cung có côtang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình cotx = a là:

$x=\mathrm{arccot}a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cotx = cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; cot f(x) = cot g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình cot x = cot β$°$ có các nghiệm là:$x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

a) $\cot x=\cot \frac{\pi }{9}$;

b) $\cot x=\frac{20}{3}$;

c) $\cot 3x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải:
a) $\cot x=\cot \frac{\pi }{9}\iff x=\frac{\pi }{9}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

b) $\cot x=\frac{20}{3}$;

$\iff x=\arctan \frac{20}{3}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

c) $\cot 3x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\begin{array}{l}\iff \cot 3x=\cot \frac{\pi }{3}\\ \iff 3x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})\end{array}$

- Ghi nhớ.

Mỗi phương trình sinx = a (|a| ≤ 1); cosx = a (|a| ≤ 1), tanx = a; cotx = a có vô số nghiệm.

Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.