Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB (E ∈ AB); kẻ HF vuông góc với AC (F ∈ AC).

a) Chứng minh: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Gọi P là điểm đối xứng của H qua AB. Tứ giác APEF là hình gì? Vì sao?

c) Đường thẳng đi qua C và song song với BP, cắt tia PA tại Q. Chứng minh: Q đối xứng với H qua F.

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác AEHF có:

\(\widehat A = 90^\circ \) (tam giác ABC vuông tại A)

HE ⊥ AB ⇒ \(\widehat {AEH} = 90^\circ \)

HF ⊥ AC ⇒ \(\widehat {AFH} = 90^\circ \)

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b) Hình chữ nhật AEHF có:

EH // AF và EH = AF

Lại có: PE = EH (vì P là điểm đối xứng của H qua AB)

⇒ PE = AF (= EH)

Tứ giác APEF có:

EP // AF và PE = AF

⇒ Tứ giác APEF là hình bình hành. (Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau)

c) Vì P đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của PH

⇒ AP = AH và BP = BH

Xét ΔAPB và ΔAHB có:

BP = PH

AP =AH

AB chung

⇒ ΔAPB = ΔAHB (c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) và \(\widehat {APB} = \widehat {AHB}\) (hai góc tương ứng)

Mà có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {APH} = 90^\circ \)

Hay AP ⊥ PB

Ta có AP ⊥ PB và PB // CQ

⇒ AP ⊥ CQ hay AQ ⊥ CQ \( \Rightarrow \widehat {AQC} = 90^\circ \).

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{A_4}} + \widehat {{A_1}} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 90^\circ \\\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \end{array} \right.\] và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}\)

Xét ΔAHC và ΔAQC có:

\(\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}\) (cmt)

AC chung

\(\widehat {AHC} = \widehat {AQC} = 90^\circ \)

⇒ ΔAHC = ΔAQC (cạnh huyền góc nhọn)

⇒ AH = AQ (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAHF và ΔAQF có:

\(\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}\) (cmt)

AF chung

AH = AQ (cmt)

⇒ ΔAHF = ΔAQF (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {AFH} = \widehat {AFQ}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AFQ} = 90^\circ \).

Ta có: \(\widehat {HFQ} = \widehat {AFH} + \widehat {AFQ} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Hay H, F, Q thẳng hàng (1)

Vì ΔAHF = ΔAQF (cmt) nên HF = QF (2)

Từ (1) và (2) suy ra Q đối xứng với H qua F.