Cho các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn số đó chia hết cho 2 và chữ số 4, 5 phải luôn đứng cạnh nhau?

1. Quy tắc cộng

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

- Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn và không giao nhau thì:

$n(A\cup B)=n\left(A\right)+n\left(B\right)$

- Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

- Ví dụ. Một lớp học có 21 bạn nữ và 19 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một bạn để làm lớp trưởng. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Giáo viên chọn 1 bạn nam: có 19 cách.

+ Trường hợp 2. Giáo viên chọn 1 bạn  nữ: có 21 cách

Theo quy tắc cộng, giáo viên sẽ có: 19 + 21 = 40 cách chọn 1 bạn làm lớp trưởng.

- Ví dụ. Bạn Lan có 10 quyển sách khác nhau; 12 chiếc bút khác nhau và 5 cục tẩy khác nhau. Bạn Lan cần chọn một món đồ để đem tặng Hoa. Hỏi bạn Lan có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Bạn Lan có thể chọn:

+ Một quyển sách: có 10 cách chọn

+ Một chiếc bút: có 12 cách chọn.

+ Một cục tẩy: có 5 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, bạn Lan có: 10 + 12 + 5 =  27 cách chọn.

2. Quy tắc nhân

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

- Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên liếp.

- Ví dụ. Cho tập A = {1; 3; 4; 5; 6}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A?

Lời giải:

Để tạo ra một số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động:

- Hành động 1: Chọn chữ số hàng chục có 5 cách.

- Hành động 2. Chọn chữ số hàng đơn vị. Ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục, ta có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị).

Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn đầu bài là: 5.4 = 20 số.

- Ví dụ. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 10 món, 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng và 1 nước uống giải khát trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn?

Lời giải:

Để chọn một thực đơn, ta cần thực hiện liên tiếp ba hành động:

- Chọn 1 món ăn trong 10 món có 10 cách.

- Chọn 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng có 6 cách.

- Chọn 1 nước uống trong 4 loại nước uống có 4 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn thực đơn là 10.6.4 = 240 cách.

3. Hoán vị

3.1 Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

3.2 Số các hoán vị

Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: Pn = n!.

- Ví dụ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.

Lời giải:

Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.

4. Chỉnh hợp

4.1 Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ví dụ. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.

4.2 Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí: $A_n^k=n(n-1)\mathrm{...}(n-k+\text{\hspace{0.17em}}1)$

- Ví dụ. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E  ta lập được bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.

Lời giải:

Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Số vecto khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:

Do đó, ta có: $A_5^2=\mathrm{5.4.3}=60$ vectơ thỏa mãn đầu bài.

- Chú ý:

a) Với quy ước 0! = 1 ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!};1\le k\le n$.

b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Vì vậy:$P_n=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{A}_n^n$ .

5. Tổ hợp

5.1 Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

5.2 Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_n^k$  là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ví dụ. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.

Lời giải:

Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm).

Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là $C_8^3=$56.

5.3 Tính chất của các số $C_n^k$

a) Tính chất 1.

$C_n^k=C_n^{n-k};0\le k\le n$.

Ví dụ 6. $C_8^3=C_8^5=56$.

b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan).

$C_{n-1}^{k-1}+\text{\hspace{0.17em}}{C}_{n-1}^k=C_n^k;1\le k<n$.

Ví dụ 7.$C_8^4+C_8^5=C_9^5=126$ .

6. Công thức nhị thức Niu- tơn

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^2=a^2+\text{\hspace{0.17em}}2ab+b^2=C_2^0{a}^2+\text{\hspace{0.17em}}{C}_2^1.a^1{b}^1+C_2^2{b}^2\\ {\left(a + b\right)}^3=a^3+\text{\hspace{0.17em}}3a^{2}b+\text{}3a{b}^2\text{}+b^3=C_3^0.a^3+C_3^1{a}^2{b}^1\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_3^2{a}^1{b}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_3^3{b}^3\end{array}$

- Công thức nhị thức Niu – tơn.

${(a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+b)}^n=C_n^0{a}^n+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_n^1.a^{n-1}b+\text{\hspace{0.17em}}\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_n^k.a^{n-k}{b}^k\text{\hspace{0.17em}}+\text{}\mathrm{....}+\text{}{C}_n^{n-1}a{b}^{n-1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_n^n{b}^n$

- Hệ quả:

Với a = b = 1 ta có: $2^n=C_n^0+\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^1+\text{}\mathrm{...}\text{}+\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^n$

Với a = 1; b = – 1 ta có:

$0=C_n^0-\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^1+\text{}\mathrm{...}+\text{}{(-1)}^k.C_n^k+\text{}\mathrm{...}\text{}+{(-1)}^n\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^n$.

- Chú ý:

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1): 

a) Số các hạng tử là n + 1.

b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước $a^0=b^0=1$).

c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

- Ví dụ. Khai triển biểu thức: (a – b)^5.

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có:

$\begin{array}{l}\text{Invalid <m:msup> element}=C_5^0{a}^5+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_5^1.a^4(-b)+\text{Invalid <m:msup> element}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_5^2.\text{Invalid <m:msup> element}{a}^3\text{\hspace{0.17em}}+\text{Invalid <m:msup> element}\text{}{C}_5^3\text{Invalid <m:msup> element}{a}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_5^{4}a+C_5^5\\ =a^5-5a^{4}b+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}10a^3{b}^2-10a^2{b}^3+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5a{b}^4-b^5\end{array}$

- Ví dụ. Khai triển biểu thức: (3x – 2)^4.

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có:

$\begin{array}{l}\text{Invalid <m:msup> element}=\text{Invalid <m:msup> element}{C}_4^0+\text{}\text{Invalid <m:msup> element}{C}_4^1.(-2)\text{Invalid <m:msup> element}\text{Invalid <m:msup> element}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_4^2.\text{Invalid <m:msup> element}\text{\hspace{0.17em}}+\text{}{C}_4^3\text{Invalid <m:msup> element}\left(3x\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_4^4\\ =81x^4-216x^3+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}216x^2-96x+16\end{array}$

7. Tam giác Pa- xcan

Trong công thức nhị thức Niu – tơn ở mục I, cho n = 0; 1; … và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa- xcan.

- Nhận xét:

Từ công thức$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó.

Ví dụ. $C_6^2=C_5^1+C_5^2=5+10=15$ .

8. Phép thử, không gian mẫu

8.1 Phép thử.

Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử. Một thí nghiệm, một phép đo, hay một sự quan sát hiện tượng nào đó… được hiểu là phép thử.

- Ví dụ. Gieo ba đồng tiền xu liên tiếp, chọn ba cây tú lơ khơ từ bộ bài 52 cây tứ lơ khơ, chọn 3 bông hoa từ 10 bông hoa trong lọ… đây đều là phép thử.

- Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trước được mặt xuất hiện là sấp hay ngửa. Đó là ví dụ về phép thử ngẫu nhiên.

- Tổng quát. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

8.2 Không gian mẫu.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là  $\Omega$(đọc là ô-mê-ga).

- Ví dụ. Nếu phép thử là gieo một con súc sắc một lần, thì không gian mẫu gồm 6 phần tử là: $\Omega$ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

- Ví dụ. Nếu phép thử là gieo một đồng tiền ba lần thì không gian mẫu gồm tám phần tử là:$\Omega =$

{SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN} .

9. Biến cố.

- Một cách tổng quát, mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mô tả bởi một tập con của không gian mẫu.

- Định nghĩa: Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa A; B; C…

- Tập $\varnothing$ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập $\Omega$ được gọi là biến cố chắc chắn.

- Ví dụ. Gieo con súc sắc liên tiếp hai lần thì biến cố: “lần thứ nhất ra mặt 5 chấm, lần thứ 2 ra mặt 8 chấm” là biến cố không. (vì súc sắc không có mặt 8 chấm)

Còn biến cố: “Tổng số chấm hai lần gieo lớn hơn 1 và nhỏ hơn 13” là biến cố chắc chắn.

- Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi các kết quả của phép thử đó là một phần tử của A (hay thuận lợi cho A).

Như vậy, biến cố không thể không bao giờ xảy ra. Trong khi đó, biến cố chắc chắn luôn luôn xảy ra.

10. Phép toán trên các biến cố.

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử

- Tập $\Omega$\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là $\overline{A}$.

 $\overline{A}$ xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

- Ví dụ. Nếu phép thử là chọn một học sinh trong lớp làm lớp trường thì:

Biến cố A: “bạn đó là nữ”.

Biến cố B: “bạn đó là nam”.

Ta thấy, B là biến cố đối của biến cố A:$B=\overline{A}$ .

 - Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa:

Tập  $A\cup B$được gọi là hợp của các biến cố A và B.

Tập $A\cap B$ được gọi là giao của các biến cố A và B.

Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì ta còn nói A và B xung khắc.

- Biến cố $A\cup B$ xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ còn được viết là A.B.

A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.                                                                                                                 

- Ta có bảng sau:

 - Ví dụ. Xét phép thử: gieo súc sắc hai lần liên tiếp, với các biến cố:

A: “Kết quả hai lần gieo giống nhau”.

B. “Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm”.

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến A và B.

Lời giải:

A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

B = {(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6)}.

11. Định nghĩa cổ điển của xác suất.

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).  Vậy  P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$.

- Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn $n\left(\Omega \right)$ là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

- Ví dụ. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất liên tiếp hai lần. Biến cố A: “Lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm”.  Tính n(A), P(A).

Lời giải:

Gieo con súc sắc liên tiếp 2 lần, khi đó: $n\left(\Omega \right)=6.6=36$.

Các kết quả thuận lợi cho A là:

A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)}.

Do đó; n(A) = 6.

Khi đó xác suất để xảy ra biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

- Ví dụ. Gieo một đồng tiền liên tiếp ba lần. Gọi B là biến cố: lần gieo thứ nhất và thứ hai giống nhau. Tính n(B), P(B)?

Lời giải:

Gieo một đồng tiền liên tiếp ba lần, khi đó: $n\left(\Omega \right)=2^3=8.$

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:

B = {SSS; SSN; NNN; NNS}.

Do đó; n(B) = 4.

Vậy xác suất để xảy ra biến cố B là $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

12. Tính chất của xác suất

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, ta có định lí sau:

a) $P(\varnothing )=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0;P\left(\Omega \right)=1$.

b) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì:

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ (công thức cộng xác suất )

- Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có: $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$.

- Ví dụ. Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:

Lời giải:

Phép thử : Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất

Ta có : $n\left(\Omega \right)=2^5=32$.

Biến cố A: Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.

Biến cố đối $\overline{A}$ tất cả đều là mặt ngửa.

Chỉ có duy nhất một trường hợp tất cả các mặt đều ngửa nên $n\left(\overline{A}\right)=1$

Suy ra: $n\left(A\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{A}\right)=31$

Xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{31}{32}$.

- Ví dụ. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Tính xác suất của biến cố “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”. Có hai trường hợp xảy ra

- Biến cố B: Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được một bi xanh.

Xác suất trong trường hợp này là $P_B=\frac{5}{8}.\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$

- Biến cố C: Lấy lần thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh.

Xác suất trong trường hợp này là $P_C=\frac{3}{8}.\frac{5}{7}=\frac{15}{56}$

- Vì 2 biến cố B và C là xung khắc nên PA = PB + PC = 0,625.

13. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.

- Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập.

- Tổng quát:

 A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: P(A.B) = P(A).P(B).

- Ví dụ. Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng  đích lần lượt là 0,8 ; 0,6; 0,6. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng:

Lời giải:

Gọi X là biến cố: “có đúng 2 người bắn trúng đích”.

- Gọi A là biến cố: “người thứ nhất bắn trúng đích”,$P\left(A\right)=\mathrm{0,8};P\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,2}$

- Gọi B là biến cố: “người thứ hai bắn trúng đích”, $P\left(B\right)=\mathrm{0,6};P\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,4}$.

- Gọi C là biến cố: “người thứ ba bắn trúng đích”,$P\left(C\right)=\mathrm{0,6};P\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,4}$

Ta thấy biến cố A, B, C là 3 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left(X\right)=P\left(A.B.\overline{C}\right)+P(A.\overline{B}.C)+P(\overline{A}.B.C)$

= 0,8.0,6.0.4 + 0,8.0,4.0,6 + 0,2.0,6.0,6 = 0,456.