Tính $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}$

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn $\in$ K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=L$  hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét: $\underset{x\to \infty }{\lim }x=x_0,\underset{x\to \infty }{\lim }c=c$  với c là hằng số.

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-2}$. Chứng minh rằng $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=12.$

Giải

Hàm số xác định trên $ℝ\backslash \left\{2\right\}$

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn $x_n\ne 2$ và $x_n\to 2$ khi $n\to +\infty$.

Ta có: 

$\text{limf}\left(x_n\right)=\lim \frac{x_n^3-8}{x_n-2}=\lim \frac{\left(x_n-2\right)\left(x_n^2+2x_n+4\right)}{x_n-2}=\lim \left(x_n^2+2x_n+4\right)=12.$

Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=12.$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=M$. Khi đó:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=L+M;$

$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L-M;$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right).g\left(x\right)=L.M;$

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right);$

b) Nếu $f\left(x\right)\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}.$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $x\ne x_0$ ).

Ví dụ 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1-x}{{\left(x-4\right)}^2}$. Tính $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right).$

Giải

Ta có: $\underset{x\to 4}{\lim }\left(1-x\right)=-3<0$, $\underset{x\to 4}{\lim }{\left(x-4\right)}^2=0$

$\Rightarrow \underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1-x}{{\left(x-4\right)}^2}=-\infty$

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → $x_0$, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu:$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$  .

Định lí 2

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L\iff \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+1\text{ khi x}\ge \text{0}\\ \text{2x khi x < 0}\end{array}\right.$. Tìm $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và  $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Giải

Ta có:  $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x}+1\right)=0;$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }2x=0;$

$\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0$

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0.$

Vậy $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0$ và $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0.$

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to -\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0.$

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞

Kí hiệu:$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Nhận xét: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-f\left(x\right)\right)=-\infty$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$;

Nếu k lẻ thì $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $x\ne x_0$)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

$x\to x_0^{+},x\to x_0^{-};x\to +\infty ;x\to -\infty .$

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^4-3x+8\right)$;

b) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{5x-6}{2x-2};$

c) $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{x}{x+3};$

Giải

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^4-3x+8\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^4\left(1-\frac{3}{x^3}+\frac{8}{x^4}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4.\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{x^3}+\frac{8}{x^4}\right)=+\infty$

(Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{x^3}+\frac{8}{x^4}\right)=1$).

b) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{5x-6}{2x-2}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(5x-6\right):\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-2\right)=+\infty$

(Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(5x-6\right)=-1<0;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-2\right)=0$ và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1).

c) $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{x}{x+3}=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }x:\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=-\infty$

( Vì $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }x=-3<0;\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=0$ và x + 3 > 0 với mọi x > - 3 ).