Phương trình chuyển động của một chất điểm s = t³ – 3t² – 9t + 2 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0.

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm $x_0$ và được kí hiệu là f'(x0). Vậy $\boxed{f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.}$

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- $x_0$ được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) –  f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy:$y\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to \infty }{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại $x_0$ tính:

∆y= f(x0 + ∆x) – f( $x_0$) .

+ Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}.$.

+ Bước 3: Tìm $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\sqrt{2x-3}$, có $\Delta x$ là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: $D=\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có:

$\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)=\sqrt{2.\left(2+\Delta x\right)-3}-\sqrt{2.2-3}=\sqrt{2\Delta x+1}-1$

Khi đó:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{2\Delta x+1}-1}{\Delta x}$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2\Delta x+1}-1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2\Delta x+1}-1\right).\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}{\Delta x.\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\Delta x}{\Delta x.\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\Delta x+1}+1}=1$

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}khix\ge 0\\ xkhix<0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^3 – 3x^2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t^2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:$\left(a;b\right)\to ℝ$

 $x\mapsto f\text{'}\left(x\right)$                                          

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x^2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số $y=\frac{2}{x}$ có đạo hàm $y\text{'}=-\frac{2}{x^2}$ trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$.

III. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lý 1

Hàm số y = x^n $\left(n\in \mathbb{N},n>1\right)$ có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và (x^n)’ = n.x^n-1.

2. Định lý 2

Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x^3;

b) Tính đạo hàm tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x^2;

b) Ta có:$y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là:$y\text{'}\left(5\right)=\frac{1}{2\sqrt{5}}.$

IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u\text{'}v-u.v\text{'}}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2.${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v\text{'}}{v^2}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x^5 – 2x^2 + 3x + 6;

b) y = (x^2 + 1)(2x – 3);

c)$y=\frac{7x^2}{x-1}$ .

Lời giải

a) y = x^5 – 2x^2 + 3x

$\Rightarrow$y’ = (x5 – 2x^2 + 3x)’

         = (x5)’ – (2x^2)’ + (3x)’

         = 5x^4 – 4x + 3.

b) y = (x^2 + x).2x

$\Rightarrow$y’ = (x^2 + x)’.2x + (x^2 + 1)(2x)’

         = [(x^2)’ + x’].2x + (x^2 + 1).2

         = (2x + 1).2x + 2x^2 + 2

         = 4x^2 + 2x + 2x^2 + 2

         = 6x^2 + 2x + 2.

c) $y=\frac{7x^2}{x-1}$

$\Rightarrow y=\frac{{\left(7x^2\right)}^{\text{'}}\left(x^3-2x\right)-\left(7x^2\right){\left(x^3-2x\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$

$=\frac{14x\left(x^3-2x\right)-7x^2\left(2x^2-2\right)}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$

$=\frac{14x^4-28x^2-14x^2+14x}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$

$=\frac{-28x^2+14x}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$.

V. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là$u_x^{\text{'}}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là $y_x^{\text{'}}$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: $y_x^{\text{'}}=y_u^{\text{'}}.u_x^{\text{'}}$.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: $y=\sqrt{x^2+2x}$

Lời giải

Đặt $u=x^2+2x$ thì $y=\sqrt{u}$

$y\text{'}=\frac{u\text{'}}{2\sqrt{u}}=\frac{\left(x^2+2x\right)\text{'}}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}$.

VI. Đạo hàm hàm lượng giác

1. Giới hạn $\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1$.

Ví dụ 1. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(x-1\right)}{x^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin t}{t}.\frac{1}{t+2}\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}.\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t+2}=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $y={\left[\sin \left(2x+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$y\text{'}=2{\left[\sin \left(2x+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2x+3\right)=2\left[cos\left(2x+3\right).{\left(2x+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2x+3\right)$

$y\text{'}=4cos\left(2x+3\right).\sin \left(2x+3\right)$.

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi  $x\in ℝ$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $y=cos\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ tại $x=\frac{\pi }{3}$.

Lời giải

Đặt $u=\frac{\pi }{2}-x$

$\Rightarrow y\text{'}=\left(\cos u\right)\text{'}=-u\text{'}.\sin u=-{\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right).$

Thay $x=\frac{\pi }{3}$ vào y’ ta được:

$y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại  $x=\frac{\pi }{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{u\text{'}}{{\text{cos}}^{2}u}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $y=\sqrt{2+t\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$y\text{'}=\frac{u\text{'}}{2\sqrt{u}}=\frac{\left(2+\tan x\right)\text{'}}{2\sqrt{2+t\text{anx}}}=\frac{\frac{1}{co{s}^{2}x}}{2\sqrt{2+t\text{anx}}}=\frac{1}{2.co{s}^{2}x\sqrt{2+t\text{anx}}}$.

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{u\text{'}}{{\sin }^{2}u}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x^2.

Lời giải

y’ = (cot x^2)’ = (x^2)’. $-\frac{1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$= $-\frac{2x}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

VII. Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x^4 + 8x + 12. Tính y(5)

Lời giải

Ta có: y’ = 28x^3 + 8, y” = 84x^2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.

Vậy y(5) = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $\Delta t$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $\Delta v$.

Tỉ số$\frac{\Delta v}{\Delta t}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $\Delta t$. Nếu tồn tại: $v\text{'}\left(t\right)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}=\gamma \left(t\right)$.

Ta gọi $v\text{'}\left(t\right)=\gamma \left(t\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $\boxed{\gamma \left(t\right)=f"\left(t\right)}$.

Đao hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $s=\frac{1}{2}g{t}^2.$

Lời giải

Ta có: $s\text{'}=gt.$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $\gamma =s"\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=g\approx \mathrm{9,8}\left(m/s^2\right)$.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là:$g\approx \mathrm{9,8}m/s^2.$