Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c. Mặt phẳng (α) song song với AB và CD cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:
A.
B.
C.
D.
Giải bởi Vietjack
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M và P lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho MA = PC = x( (0 < x < a). Mặt phẳng (α) đi qua MP song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện là hình gì?
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC = 2a. M là một điểm trên đoạn SB mà SM = m (0 < m < 2a). Mặt phẳng (α) qua M, song song với SA, BC cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi là:
Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm của cạnh CD, G là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng AD và GM là hai đường thẳng:
Cho tứ diện (ABCD) có (AB = CD = 4, BC = AD = 5, AC = BD = 6). Gọi M là điểm thay đổi trong tâm giác (ABC). Các đường thẳng qua (M) song song với AD, BD, CD tương ứng cắt mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A', B', C'. Giá trị lớn nhất của MA'.MB'.MC' là
Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M và song song với SA, SB, SC cắt các mặt (SBC), (SAC), (SAB) lần lượt tại A’, B’, C’. có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi M di động trong tam giác ABC?
Cho tứ diện ABCD. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Chọn câu sai?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC, đáy nhỏ AD. Mặt bên (SAD) là tam giác đều, (α) là mặt phẳng đi qua M trên cạnh AB, song song với SA, BC. Mp(α) cắt các cạnh CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. MNPQ là hình gì?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là một điểm nằm trên đoạn đường chéo BD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) đi qua M và song song với AC và SB có thể là những hình gì?
Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm di động trên đoạn AI. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với SI, IC, biết AM = x. Thiết diện tạo bởi mp(P) và tứ diện SABC có chu vi là:
Cho tứ diện ABCD có (AB = a, CD = b, ). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD. Giao tuyến của mặt phẳng (α) và hình chóp có diện tích bằng bao nhiêu, biết IJ = 3IM
Cho hình chóp S.ABCD, O là điểm nằm bên trong tam giác ACD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) đi qua O và song song với AC và SD có số cạnh bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm trên cạnh SC và (α) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của (α) với các cạnh SB, SD, gọi I là giao điểm của ME và BC, J là giao điểm của MF và CD. Nhận xét gì về ba điểm I, J, A?
I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:
- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.
- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu .
- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu .
II. Tính chất
- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).
Ta có: .
- Định lí. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.
- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
- Định lí. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O1 lần lượt là tâm của ABCD và ABEF, gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh:
a) OO1 // mp (BEC).
b) OO1 // mp (AFD)
Lời giải.
a) Xét tam giác ACE có O; lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành).
Suy ra O là đường trung bình trong tam giác ACE và O // EC.
Mà EC thuộc mp (BEC) nên O // mp (BEC) (đpcm).
b) Tương tự; O là đường trung bình của tam giác BFD nên O // FD.
Mà FD nằm trong mp(AFD)
Suy ra: O // mp (AFD) (đpcm).
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC và (α) là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là hình gì?
Lời giải:
+ Qua H kẻ đường thẳng song song AB và đường thẳng này cắt BC, AC lần lượt tại M, N.
+ Từ N kẻ NP song song với CD
Từ P kẻ PQ song song với AB .
+ Ta có: MN // PQ // AB
Suy ra 4 điểm M; N; P và Q đồng phẳng .
Suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là tứ giác MNPQ.
+ Ta chứng minh MNPQ là hình bình hành.
Trước tiên, ta chứng minh PN // QM.
Ta có:
Suy ra: QM // PN // CD
Lại có: PQ // MN
Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.
