Tìm công thức nghiệm nguyên tổng quát của phương trình 5x + 3y = 2  (1)

1. Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn

- Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các số đã biết ( $a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$)

Ví dụ 1:

2x + 3y = 5

4x + 6y = 7

-2x – 3y = 4

Các phương trình trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn. Hai ẩn ở đây là x và y.

- Trong phương trình (1), nếu giá trị của vế trái tại x = x₀ và y = y₀ bằng vế phải thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình.

Ta cũng viết: Phương trình (1) có nghiệm là (x; y) = (x₀; y₀).

Chú ý:

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x₀; y₀) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x₀; y₀).

- Khái niệm tập nghiệm và khái niệm phương trình tương đương của phương trình bậc nhất hai ẩn cũng tương tự như đối với phương trình bậc nhất một ẩn. Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân đã học để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biêu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d).

- Nếu $a\ne 0$ và $b\ne 0$ thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất

                 $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ 

- Nếu $a\ne 0$ và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay $x=\frac{c}{a}$, và đường thẳng (d) song song với trục tung hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và $b\ne 0$  thì phương trình trở thành by = c hay $y=\frac{c}{b}$ , và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành.

Nói cách khác, ta có công thức nghiệm tổng quát như sau:

- Nếu $a\ne 0$ và $b\ne 0$ thì  công thức nghiệm là:

$\left\{\begin{array}{l}x\in \mathrm{ℝ}\\ y=\frac{c-ax}{b}\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{c-by}{a}\\ y\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$ 

Khi đó (d) cắt cả hai trục Ox; Oy

Ví dụ 2: x – y = 1 có $a\ne 0$ và $b\ne 0$ , khi đó công thức nghiệm là:

 $\left\{\begin{array}{l}x\in \mathrm{ℝ}\\ y=x-1\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=y+1\\ y\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$ 

- Nếu a = 0 và $b\ne 0$ thì công thức nghiệm là:

 $\left\{\begin{array}{l}x\in \mathrm{ℝ}\\ y=\frac{c}{b}\end{array}\right.$ và (d) // Ox

Ví dụ 3: Phương trình 0x + y = 5 có a = 0 và $b\ne 0$, khi đó công thức nghiệm là:

$\left\{\begin{array}{l}x\in \mathrm{ℝ}\\ y=5\end{array}\right.$.

- Nếu $a\ne 0$ và b = 0 thì công thức nghiệm là:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{a}\\ y\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$ và (d) // Oy

Ví dụ 4: Phương trình 2x + 0y = 3 có $a\ne 0$ và b = 0 , khi đó công thức nghiệm là:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{a}\\ y\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$.